задача, использующая свойства коммутатора

[2old]

$A, B\in M_n(\mathbb{R})$. Известно, что $AB-BA$ не вырождена и $A^2+B^2=AB$. Доказать, что $n$ делится на 3.
У меня получилось доказательство, рассмотрев матрицу $LL^{*}$, где $L=A+Bz$, $z\in\mathbb{C}$. Но это в общем некоторое "читерство", хотелось бы получить доказательство чисто средствами линейной алгебры, но как-то не получается.