Векторные поля на трехмерной сфере

[scwec]

На трехмерной сфере $S^3$ заданы три гладких векторных поля, независимых в каждой точке $S^3$.
Линейные комбинации их с вещественными коэффициентами образуют трехмерную алгебру Ли $g^3$
с операцией коммутирования $[X,Y]=XY-YX$, где $X,Y\in{g^3}$.
Докажите, что $g^3$ изоморфна $so(3)$.

[DeBill]

(Оффтоп)

Попытка в порядке бреда

Особых точек нет. Фазовым кривым некуда накапливаться, так что все они - замкнуты.
Имеем три семейства (топологических) окружностей. Фробениус обещает их хорошесть....
А ведь есть и тройка стандартных таких полей... Каждая из них определяет "угловую систему координат".
Построим диффеоморфизм сфер, переводящей точку одной в точку другой - с теми же координатами.
Вай, перевели нашу тройку полей в стандартную....

(Оффтоп)

:D

[scwec]

Этот путь вряд ли приведет к успеху.
Первоначальный посыл неверен.
Существуют неособые гладкие поля класса $C^\infty$ на $S^3$, которые вообще не имеют замкнутых траекторий (контрпример Куперберг к проблеме Зейферта).
Задача имеет достаточно простое решение, но, конечно, с алгебро-топологическим уклоном.

[scwec]

Привожу одно из возможных доказательств.
В соответствии с классификацией трехмерных алгебр Ли для $g^3$ возможны следующие варианты:
1) $g^3$ разрешимая алгебра Ли,
2) $g^3$ изоморфна $sl(2,R)$,
3) $g^3$ изоморфна $so(3)$.
1. Пусть $g^3$ разрешима. В этом случае существует двумерный идеал $g^2\subset{g^3}$,
в качестве идеала можно взять любую 2-плоскость из $g^3$, содержащую коммутант $Dg^3$ или совпадающую с ним.
Выберем базис $g^3$ из линейно-независимых полей $e_1,e_2,e_3$ так, что $e_1,e_2\in{g^2}$, а $e_3$ не лежит в $g^2$.
Соответствующий базис дуальных 1-форм: $\omega^1,\omega^2,\omega^3$, где $\omega^i{(e_j)}={\delta_j}^i$.
Эти формы, как и поля $e_1,e_2,e_3$ линейно независимы в каждой точке $S^3$.
В силу выбора базиса структурные константы $c_{ij}^3=0$ и $d\omega^3=0$.
Из односвязности $S^3$ следует, что $w^3=df$, где $f$-гладкая функция на $S^3$,
а из компактности $S^3$ следует, что $f$ имеет точки экстремума на $S^3$
и, сл-но, $\omega^3$ обращается в нуль в некоторых точках $S^3$.
Это противоречит линейной независимости дуальных форм и, следовательно, $g^3$ не может быть разрешимой алгеброй Ли.
2. Пусть $g^3$ изоморфна $sl(2,R)$.
В качестве базиса $g^3$ выберем линейно-независимые векторные поля $e_1,e_2,e_3$
с коммутационными соотношениями $[e_1,e_2]=e_1,[e_2,e_3]=e_3,[e_3,e_1]=2e_2$.
Поле двумерных касательных плоскостей на $S^3$, натянутых на векторные поля $e_1,e_2$ вполне интегрируемо
и определяет на $S^3$ двумерное слоение, которое согласно теореме С.П.Новикова имеет компактный слой.
Этот слой является 2-тором и для полей $e_1,e_2$, порождающих двумерную алгебру Ли на нем $[e_1,e_2]=e_1$.
Однако известно, что линейно-независимые поля на 2-торе, порождающие двумерную алгебру Ли обязаны коммутировать.
Это противоречие доказывает, что $g^3$ не изоморфна $sl(2,R)$.
Остается третий случай.
3. Он реализуется. Действительно, как известно, $S^3$ является группой Ли с алгеброй Ли изоморфной $so(3)$.
Любые три линейно-независимых левоинвариантных поля на $S^3$ - это поля из условия задачи.
Здесь доказано, что других для $S^3$ не бывает.