Фурье-образ четной функции

[TelmanStud]

Доброго времени суток.
Что можно сказать про Фурье-образ

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}dx$$

для четной функции f(x): $f(-x)=f(x)$? Тот же вопрос для нечетной функции.

[arseniiv]

Найдите фурье-образ функции $x\mapsto f(ax)$, узнаете.

[sergei1961]

для чётной равно косинус преобразованию Фурье, для нечётной-синус.

[TelmanStud]

sergei1961
Я то имел ввиду какими свойствами обладает функция $g(k)=\widehat{f}(x)$. Будет ли она чисто вещественной, четной?
arseniiv
Не совсем Вас понял.
Верно ли, что
$\widehat{f(-x)}=g(-k)$?

[arseniiv]

Да, верно, т. к. если аргумент функции умножается на $a$, аргумент её образа делится на $a$, что в случае $a=\pm1$ одно и то же. В результате образ чётной функции должен тоже быть чётным, и аналогично с нечётностью.

-- Вс май 22, 2016 22:46:41 --

(Оффтоп)

В таких рассуждениях может оказаться полезным бесточечная запись — в смысле, запись без упоминания аргументов функций. Обозначим преобразование Фурье $\mathcal F$, смену знака аргумента $\mathcal S$, просто смену знака $\mathcal I$. Тогда имеем $\mathcal{FI} = \mathcal{IF}$ из линейности $\mathcal F$, и $\mathcal{SF} = \mathcal{FS}$. (И ещё $\mathcal{SI} = \mathcal{IS}$, но это тут не пригодится. Прекрасно, получили группу, изоморфную $\mathbb Z_2^3$.)

Для чётной функции $f = \mathcal Sf$. Применяем $\mathcal F$: $\mathcal Ff = \mathcal F(\mathcal Sf) = (\mathcal{FS})f = (\mathcal{SF})f = \mathcal S(\mathcal Ff)$. Образ чётен. (Скобки обычно не пишут, конечно. Это для большей наглядности.)
Для нечётной функции $f = \mathcal{IS}f$. Аналогичными манипуляциями получим нечётность образа.

Хотя это я просто запись крышечную недолюбливаю, не берите в голову.

[TelmanStud]

arseniiv
sergei1961
Спасибо!