Найти предельное распределение случайной величины

[fotol]

Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей.

Есть независимые случайные величины $\xi_{m,n}, m = 1,2, ..., n$, одинаково распределенные с плотностью $\alpha_n \cdot e^{-\alpha_n x} , x > 0$, где $\alpha_n = \lambda n$ и $\lambda > 0$.

Требуется найти предельное $ n \to \infty $ распределение случайной величины $\xi_n = \sum\limits_{m = 1}^{n} = \xi_{m,n}$

Примерное решение я видел, но я не совсем понял, что там что означает. Решается задача через характеристические функции. В решении есть ряд утверждений:
1) $\xi_n \Leftrightarrow f_n(x)$
2) $\xi_n \to \xi$ при $n\to\infty
3) $f(\xi_n) \to f(\xi)
4) $\xi\Leftrightarrow f$

где $f_\xi (t) $ - характеристическая функция. Возможно, что утверждения переписаны неверно.

Однако я догадываюсь, что имеет место следующее равенство:

$f_\xi_n (t) = f_\xi_{1,n} \cdot f_\xi_{2,n} \cdot ... \cdot f_\xi_{n,n} = (f_\xi_{1,n})^n$

Если оно действительно верно (но не понимаю, почему характеристические функции равны между собой?), то дело остается только в подсчете интеграла, с чем я, наверное, справлюсь. Может быть, характеристические функции этих величин совпадают из-за одинаковой плотности распределения? Если так, то как бы это доказать более аккуратно?

И еще вопрос, получается, что найдя характеристическую функцию $\xi_n$, я как бы найду и распределение (вроде бы характер. функция задает его однозначно)?

[Brukvalub]

fotol в сообщении #1124413 писал(а):

Может быть, характеристические функции этих величин совпадают из-за одинаковой плотности распределения? Если так, то как бы это доказать более аккуратно?

Удивляет ваш "уровень компетенции"! Напишите, как найти функцию распределения с.в. по функции плотности этой с.в.

[fotol]

Brukvalub
По определению.

В общем, я понял, что если плотность однозначно задает функцию распределения. А функция распределения однозначно задает характеристическую функцию, то хар. функции одинаковы из-за одинаковой плотности.