2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказательство неотрицательности
Сообщение24.12.2007, 12:44 
Есть выражение:
$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_i^2-x_1x_2-x_2x_3-...-x_{i-1}x_i$

Как доказать, что оно неотрицательно для любого x?

 
 
 
 
Сообщение24.12.2007, 12:54 
Аватара пользователя
Это квадратичная форма, для квадратичных форм есть критерий Сильвестра.

 
 
 
 Re: Доказательство неотрицательности
Сообщение24.12.2007, 12:59 
Аватара пользователя
Bobochka писал(а):
Есть выражение:
$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_i^2-x_1x_2-x_2x_3-...-x_{i-1}x_i$

Как доказать, что оно неотрицательно для любого x?

Докажите для такого:
$x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+x_i^2-2x_1x_2-2x_2x_3-...-2x_{i-1}x_i$

 
 
 
 
Сообщение24.12.2007, 13:40 
Brukvalub писал(а):
Это квадратичная форма, для квадратичных форм есть критерий Сильвестра.


У меня нет конкретных чисел. Так что этот критерий, если я правильно понимаю, не подходит.

Добавлено спустя 6 минут 4 секунды:

Re: Доказательство неотрицательности

TOTAL писал(а):
Bobochka писал(а):
Есть выражение:
$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_i^2-x_1x_2-x_2x_3-...-x_{i-1}x_i$

Как доказать, что оно неотрицательно для любого x?

Докажите для такого:
$x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+x_i^2-2x_1x_2-2x_2x_3-...-2x_{i-1}x_i$


Ок, а как доказывать-то?) Какой метод?

 
 
 
 
Сообщение24.12.2007, 13:45 
Аватара пользователя
Bobochka писал(а):
Ок, а как доказывать-то?) Какой метод?

А для такого $x_1^2+x_2^2-2x_1x_2$ ?

 
 
 
 
Сообщение24.12.2007, 13:50 
Аватара пользователя
Bobochka писал(а):
У меня нет конкретных чисел. Так что этот критерий, если я правильно понимаю, не подходит.
А коэффициенты перед слагаемыми квадратичной формы - они, что, неконкретные? Вы все неправильно понимаете.

 
 
 
 
Сообщение24.12.2007, 14:02 
TOTAL писал(а):
Bobochka писал(а):
Ок, а как доказывать-то?) Какой метод?

А для такого $x_1^2+x_2^2-2x_1x_2$ ?


Если слагаемых больше 2х там же знаки удвоенных произведений будут чередоваться...

 
 
 
 
Сообщение24.12.2007, 14:05 
Аватара пользователя
Интересно, а если переписать так
$x_1^2-2x_1x_2+x_2^2$
то это ничего по внешнему виду не напоминает?

 
 
 
 
Сообщение24.12.2007, 14:10 
PAV писал(а):
Интересно, а если переписать так
$x_1^2-2x_1x_2+x_2^2$
то это ничего по внешнему виду не напоминает?


Я не настолько туп, как кажется)) К виду
$(x_1-x_2-...-x_i)^2$ не получится привести, ибо там будут произведения разных иксов чередоваться по знаку.

 
 
 
 
Сообщение24.12.2007, 14:19 
Аватара пользователя
Bobochka писал(а):
TOTAL писал(а):
А для такого $x_1^2+x_2^2-2x_1x_2$ ?

Если слагаемых больше 2х там же знаки удвоенных произведений будут чередоваться...

А для такого $x_2^2+x_3^2-2x_2x_3$ ?

 
 
 
 
Сообщение24.12.2007, 14:25 
Аватара пользователя
Вы для начала отделите слагаемое $(x_1-x_2)^2$, а затем посмотрите, что останется.

 
 
 
 
Сообщение24.12.2007, 14:26 
TOTAL писал(а):
Bobochka писал(а):
TOTAL писал(а):
А для такого $x_1^2+x_2^2-2x_1x_2$ ?

Если слагаемых больше 2х там же знаки удвоенных произведений будут чередоваться...

А для такого $x_2^2+x_3^2-2x_2x_3$ ?


Все, дошло. Туплю после зачета)) Спасибо!)

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group