Дробно-рациональное уравнение

[edwv]

Подскажите, пожалуйста, можно ли как-то решить это уравнение, не прибегая к обычному перемножению и подведению к общему знаменателю? Или хотя бы максимально ограничить себя от муторного перемножения. Я уверен, что есть какой-то быстрый способ. (ограничиваемся программой до 11 класса)
$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x-3}=\frac{6}{x+6}$

[StaticZero]

edwv в сообщении #1124157 писал(а):

можно ли как-то решить это уравнение, не прибегая к обычному перемножению и подведению к общему знаменателю

Едва ли. Тем более, что уравнение степени не больше, чем квадратное.

[gris]

Можно чуть облегчить перемножение, если перенести первую дробь в правую часть и отдельно сложить дроби справа и слева.

[Sonic86]

Можно умножить на $x+6$, поделить новый числитель на каждый знаменатель, а там глядишь и $6$ сократится.
Новое уравнение будет выглядеть на одну дробь проще + его можно попытаться решить графически.
Но до конца я не решил - лень.
Ага! А дальше идет небольшая, но приятная неожиданность.

[Dmitriy40]

Переносим все дроби в одну сторону. Приводим к общему знаменателю, не раскрывая скобки в знаменателе, но раскрывая в числителе. Получаем равенство некоторой дроби нулю. Причём в числителе всего лишь многочлен степени 2 (кубы сокращаются). Решаем его и получаем два ответа: 1.2 и 2.4 (если верить нигме.рф, сам не считал, требуется перепроверка!).