Точное определение подпоследовательности

[Anton_Peplov]

Никогда не думал, что задам столь дурацкий вопрос, но...

В детском саду меня учили, что подпоследовательность $\{a_m\}$ получится из последовательности $\{x_n\}$, если вычеркнуть из нее элементы с какими-то номерами - может, первые пять, или каждый второй, и так далее, можно и ни одного, т.к. $\{x_n\}$ - тоже подпоследовательность для самой себя. Если это формализовать, я бы сказал, что последовательность $\{a_m\}$ является подпоследовательностью последовательности $\{x_n\}$, если существует функция $\mathbb{N} \to \mathbb{N}: n = \varphi(m)$ такая, что:
1. $\forall m \ a_m = x_\varphi(m)$ (другими словами, каждый элемент $\{a_m\}$ является также элементом $\{x_n\}$).
2. $\forall m_1, m_2 \ m_1 > m_2 \Rightarrow \varphi(m_1) > \varphi(m_2)$ (другими словами, элементы входят в $\{a_m\}$ в том же порядке, что и в $\{x_n\}$).

Вопрос:
1. Эквивалентно ли это стандартному определению подпоследовательности?
2. Означает ли выражение "$\{x_n\}$ тоньше $\{a_m\}$", что $\{a_m\}$ - подпоследовательность $\{x_n\}$, не совпадающая с ней самой? И тем самым, например, что $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},...$ тоньше, чем $\frac{1}{3}, \frac{1}{4},...$?

Я бы не усомнился, что это так, если бы не одно встретившееся у Энгелькинга утверждение. Рассмотрим направленность $S$. Легко показать (это я сделал), что система всех множеств $A$ таких, что все элементы $S$, начиная с некоторого, лежат в $A$, образуют фильтр, обозначаемый $F(S)$. Так вот Энгелькинг утверждает, что, если направленность $S^\prime$ тоньше $S$, то и фильтр $F(S^\prime)$ тоньше $F(S)$. Однако очевидно, что последовательности $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},...$ и $\frac{1}{3}, \frac{1}{4},...$ (как и вообще последовательности, получаемые друг из друга отбрасыванием/приписыванием конечного числа первых членов) порождают один и тот же фильтр.

Вот я и решил, что чего-то не понимаю в определениях. Я пытался справиться по книгам Энгелькинг. Общая топология. М.: Мир, 1986 - с. 68 и Келли. Общая топология - с. 101, но по неизвестным медицине причинам долгие попытки вникнуть в приведенные там определения поднаправленности (Келли) и более тонкой направленности (Энгелькинг) и сопоставить их с вышеизложенным содержанием головы привели только к головной боли.

-- 16.05.2016, 20:28 --

P.S. Читаю того же Энгелькинга на с. 92. "Фильтр $F^\prime$ тоньше, чем $F$, если $F \subset F^\prime$". На с. 17 он оговаривает использование знака $\subset$ - он может означать и несобственное подмножество. Т.е.:
1. По мнению Энгелькинга, каждый фильтр тоньше самого себя.
2. Видимо, именно из этой изумительной терминологии выросли все мои дурацкие вопросы.
И все-таки мне кажется, что определение поднаправленности, данное Келли, более широкое, чем мое - разумеется, если все мои последовательности заменить направленностями. Кажется, что оно позволяет переставлять члены местами, хотя и только на конечные расстояния. Это галлюцинация?

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1123981 писал(а):

если существует функция $\mathbb{N} \to \mathbb{N}: n = \varphi(m)$ такая, что:
1. $\forall m \ a_m = x_\varphi(m)$ (другими словами, каждый элемент $\{a_m\}$ является также элементом $\{x_n\}$).
2. $\forall m_1, m_2 \ m_1 > m_2 \Rightarrow \varphi(m_1) > \varphi(m_2)$ (другими словами, элементы входят в $\{a_m\}$ в том же порядке, что и в $\{x_n\}$).

Это всё от лукавого. Тупо подпоследовательностью $\{a_n\}$ называется последовательность $\{b_k=a_{n_k}\}$, где $\{n_k\}$ -- строго возрастающая последовательность натуральных чисел.

И никаких фильтров (не считая, конечно, необходимости фильтровать базар).

[Anton_Peplov]

Так. Исходя из утверждения Энгелькинга

Anton_Peplov в сообщении #1123981 писал(а):

если направленность $S^\prime$ тоньше $S$, то и фильтр $F(S^\prime)$ тоньше $F(S)$

на мой вопрос

Anton_Peplov в сообщении #1123981 писал(а):

Означает ли выражение "$\{x_n\}$ тоньше $\{a_m\}$", что $\{a_m\}$ - подпоследовательность $\{x_n\}$, не совпадающая с ней самой?

можно ответить так: наоборот, если $\{a_m\}$ - подпоследовательность $\{x_n\}$ (кстати, может быть, и совпадающая с ней самой), то это $\{a_m\}$ тоньше $\{x_n\}$.
В самом деле, рассмотрим последовательность $S = 010101010....$. Очевидно, что ее подпоследовательность $S^\prime = 00000....$ порождает более тонкий фильтр, чем $S$.
Получается, что фильтр $F^\prime$ тоньше $F$, если $F$ - подфильтр $F^\prime$, а последовательность $S^\prime$ тоньше $S$, если $S^\prime$ - подпоследовательность $S$.

Если бы я специально выдумывал максимально неудобную и ведущую к ошибкам терминологию, я не выдумал бы ничего лучше.