Найти решение диоф. уравнения

[rightways]

Докажите, что уравнение $x^3+x+a^2=y^2$ имеет хотя бы одно натуральное решение $x,y$ для любого натурального $a$.

[scwec]

Из очевидного решения $(x,y)=(0,a)$ сложением точек на исходной кривой получается решение $x=\dfrac{1}{4a^2},y=\dfrac{-8a^4-1}{8a^3}$, а из него и предыдущего - искомое $x=64a^6+8a^2,y=512a^9+96a^5+3a$.

[rightways]

Да, нужно научиться использовать кривые

[scwec]

rightways и всем кому это интересно: докажите, например, что уравнение $y^2=x^3-x+a^2$, у которого имеются очевидные решения в натуральных числах $(x,y)=(1,a),(x,y)=(a^2,a^3)$, имеет ещё по крайней мере три решения в натуральных числах при любом натуральном $a$.
Для информации: при $a=2,3,4,6,9,10,18,21,26,30,...,104,105,106,108,...$ у уравнения имеется ровно пять решений в натуральных числах.

[scwec]

Искомые три решения в натуральных числах для уравнения $y^2=x^3-x+a^2$ для любого натурального $a$:
$x=64a^6-8a^2,y=512a^9-96a^5+3a$,
$x=4a^2-1,y=8a^3-3a$,
$x=4a^2+1,y=8a^3+3a$.
Таким образом, учитывая два очевидных решения $x=1, y=a$ и $x=a^2,y=a^3$
получаем, что рассматриваемое уравнение имеет не менее пяти решений в натуральных числах при любом натуральном $a$.