Страхование и теория вероятностей

[mortality_rater]

Всем доброго дня
Не уверен, что раздел правильный, не знал точно, где разместить тему.

Мой вопрос состоит в следующем.

Допустим, есть страховая компания, которая выпускает полисы (например, страхования жизни) сроком на $5$ лет.
У нее есть выбор : выпустить $1 000$ полисов и установить ежемесячный платеж в $100$ рублей (получив таким образом $100 000$ рублей)
или же выпустить $10 000$ полисов и установить ежемесячный платеж в $10$ рублей.

Каждый месяц часть клиентов умирает. Таким образом, если к 2 году умрет половина клиентов, то и по первому, и по второму типу полисов страховая компания получит в $25$ месяце $500 \cdot 100=50 000$ и $5000\cdot10 = 50 000$ рублей.

Однако, я не могу понять, создает ли портфель второго типа дополнительные риски для страховой компании? Ведь, фактически, количество случайных величин (числа живых клиентов) увеличилось... Есть ли какие-то последствия от такого расширения портфеля, которые я не вижу?
Например, если каждый клиент умирает в данный период с вероятностью q, и чтобы собрать x денег, нужно чтобы выжило $5$ клиентов, для первого полиса, и $50$, для второго, то для первого типа портфеля вероятность получить x денег будет равна $(1-q)(1-q)(1-q)(1-q)(1-q)=(1-q)^5$ , а для второго $(1-q)^{50}$.
В реальных условиях вероятности смерти не фиксированы, и в каждый период могут реализоваться по-разному. Поэтому не создает ли большее количество случайных величин во втором случае больше рисков?

Или возможно более высокий размер платы в первом случае компенсирует более низкие риски и поэтому потери в случае чего будут примерно равны?

[Sicker]

mortality_rater в сообщении #1123620 писал(а):

Однако, я не могу понять, создает ли портфель второго типа дополнительные риски для страховой компании?

Нет, дополнительные риски создает первый. Второй более стабилен, т.к. у него меньше дисперсия.

-- 15.05.2016, 02:56 --

antijs в сообщении #1123628 писал(а):

не могут полисы страхующие на одинаковой срок, иметь настолько большую разницу в стоимости.

Причем здесь это вообще?

antijs в сообщении #1123628 писал(а):

Получается, что Вы оценили жизнь одних клиентов в 10 раз дороже чем других.

И что?

[mortality_rater]

Прошу прощения, забыл уточнить. Конечно, компенсации разные. В первом полисе больше, во втором меньше, зависят от других данных (смертности, процентной ставки и тд).

Не могли бы вы объяснить, почему в первом портфеле больше дисперсия? Есть какая-то теорема, которая здесь применима?

[Sicker]

mortality_rater
Бернули.

[Lia]

antijs заблокирован как злостный клон, сообщения удалены.

[Евгений Машеров]

Ответ, что во втором случае риск ниже, потому, что меньше дисперсия, верный, но опирается на сильно упрощающие предположения, так что если они не выполняются - он может быть неприменим.
Предположения таковы:
1. Вероятность смерти для каждого клиента одинакова и равна p.
2. Страховая выплата в точности пропорциональна страховой премии (например, при платеже 100 рублей при наступлении страхового случая выплачивают 50 тысяч, а при платеже 10 рублей только 5 тысяч).
В этом случае средние выплаты страховой компании составят $m=QNp$, где Q - выплата по полису, N - число застрахованных, а дисперсия выплат будет $D^2=Q^2Np(1-p)$, так что средняя выплата будет та же, дисперсия в 10 раз ниже, а необходимые для покрытия риска выплат выше среднего уровня окажутся для той же вероятности невыплат меньше в 3.1 раза (что позволит либо их увеличить, уменьшив риск банкротства страхователя, либо, сохранив тот же уровень резервов, инвестировать их в какое-то предприятие).
Однако оба предположения могут нарушаться.
Вероятность может быть различна для клиентов разной платежеспособности, а компания может вместо сохранения той же обратной пропорции уменьшить страховую премию, сохранив для себя тот же уровень риска, но получив более высокий объём продаж.
Поэтому для ответа надо строго сформулировать предположения.

[mortality_rater]

Спасибо за ответы! А есть какое-то интуитивное объяснение этому?

И почему рискованней первый, если у него $N$ меньше, значит для первого (где 1 000 человек) : $D^2= (50000)^21000p(1-p)$, а для второго (где 10 000 человек) $D^2=(5000)^210000p(1-p)$

Это потому что в итоге у первого дисперсия будет $D^2=Q_1^2N_1p(1-p)$, у второго $D^2=(Q_1/10)^210N_1p(1-p)$ и в итоге
$Q_1^2N>(Q_1^2/10)N$?

[Евгений Машеров]

Ну, ответ "дисперсия ниже" вполне точен. Но, наверно, не нагляден.
Давайте рассмотрим упрощённый случай. Не 1000 против 10000, а один застрахованный против 4. С вероятностью 50% наступает страховой случай. В случае одного застрахованного придётся выплатить всю сумму в половине случаев,в половине ничего. Для четверых (и при четырёхкратно меньшей выплате) вся сумма будет выплачена в 1/16 части случаев, и в 1/16 платить ничего не придётся, а в большинстве случаев (увы, в относительном - 37.5%) будет выплачена половина. То есть для одного - азартная игра. Для четверых - скорее всего, выплатим плановую сумму, хотя риск того, что придётся отдать всё, есть. Предполагается, что события независимы. То есть факт выплаты одному клиенту не влияет на то, будем ли платить прочим. Вот эта независимость и обеспечивает снижение риска (вообще говоря, независимость сама по себе не обязана появиться, надо проверять её наличие; скажем, страхование от заболевания гриппом должно учитывать, что если кто-то заболел, то, скорее всего, имеет место эпидемия).

[mortality_rater]

А если все-таки брать случай, когда 1000 против 1000?

И еще, не до конца понимаю, как получилось $D=Q^2Np(1-p)$, по Википедии дисперсия равна $D(X)=p(1-p)$, а у биномиального распределения - $D(x)=np(1-p)$, а мат. ожидание - $E(x)=np$
как именно мы умножаем, что точно получилось $Q^2$? Простите за глупые вопросы, теория вероятности давно была...

[Евгений Машеров]

Ну, так одна выплата в размере Q, соответственно матожидание становится больше в Q раз, а дисперсия, матожидание квадрата отклонения от матожидания, в $Q^2$ раз.

[Евгений Машеров]

Если нужно "прочувствовать", то я бы рекомендовал рассмотреть случай "1 против 4". Расписать варианты и увидеть, как вместо крайних вариантов, разорение или богатство, по мере увеличения числа опытов всплывает "средний", который уже можно планировать и на него рассчитывать, оставляя крайние, хоть и возможные в принципе, в ситуацию "маловероятного риска" и такого же выигрыша.
Но если настаиваете на рассмотрении непременно 1000 и 10000 застрахованных - давайте добавим подробностей и посчитаем.
Пусть вероятность страхового случая за период действия равна 0.01. Цена "элитного полиса" 100, а "народного" 10 рублей (продать мы их может в количестве, соответственно, 1000 и 10000 штук). Сделать выплату в первом случае 10000, а во втором 1000 мы не можем, и потому, что в реальной компании есть накладные расходы, и потому, что компания коммерческая и должна извлекать прибыль, но главное - нужен резерв на случай, если число выплат превысит матожидание. Положим, что накладные на "элитный полис" 30 рублей, а на "народный" 3 рубля, и волевым решением назначим сумму к выплате 5000 и 500 соответственно.
Тогда в среднем мы в обоих случаях получим 20 тысяч прибыли (собрали с клиентов 100000, накладные расходы 30000, выплат 10 и 100, сумм к выплате 50000 и 50000). А вот не "в среднем", а в возможном случае...
Дисперсия числа выплат в первом случае $D^2=np(1-p)=9.9$, среднеквадратичное отклонение 3.15. Банкротство у нас наступит, если из имевшихся у нас на руках 70 тысяч мы не сможем выплатить по всем страховым случаям, то есть если их окажется более 14. Тут я беру нормальное приближение, что грубое упрощение для данных условий, но порядок величины можно оценить. Отклонение, при котором бы в опасности, составит 1.27 среднеквадратичных отклонения, и риск банкротства около 10.3%. Многовато...
Во втором случае дисперсия числа выплат $D^2=np(1-p)=99$, стандартное отклонение 9.95. Но в этом случае банкротство будет, если у нас число выплат превысит 140. То есть надо превысить 4.02 среднеквадратичных отклонений, а вероятность этого около 0.003% и практически неотличима от нуля.

[upgrade]

Стоимость "обслуживания пассива" (обслуживания клиента, купившего полис) необходимо учитывать (отношение цены полиса к затратам на один полис с ростом клиентов может падать) - это существенная величина. Поэтому есть верхняя и нижняя границы стоимости полиса, при которой страховая компания еще рентабельна.

[mortality_rater]

Я тут пытаюсь повторить ваши вычисления, с дисперсией не получается. Если по 1 клиенту, мат ожидание выплаты $S$ с вероятностью смерти $p$ будет равно $E(X)=Sp$, n клиентов : $E(nX)=nSp$, то с вторым мат ожиданием как? $D(nX)=(E(nX)^2)-(E(nX))^2$
$E(nX)^2=n^2S^2p^2, то чему будет равно $E(n^2X^2)$? Пожалуйста, мне важно разобраться...

[upgrade]

Может здесь вот какие соображения:
Предположим на интервале $t$ вероятность страхового случая для любого клиента - $0.5$
Тогда
Вероятность того, что придется выплатить (и разориться) все страховые резервы по страховому случаю единственному клиенту - $0.5$,
а вероятность того, что придется выплатить все резервы двум клиентам уже другая.

[mortality_rater]

Вот я об этом и думаю. Как в таком случае мы получили ту дисперсию?