Обратимость матрицы (конечные поля)

[SeerThe]

Доброго времени суток.

Столкнулся со следующей проблемой - над конечным полем (предположим, $R =GF(2^4)/(x^4+x+1)$) имеется матрица $A_{n,n} = \begin{pmatrix}1& 1& 1&...& 1\\ 1& w& w^2& ...& w^{n-1}\\ 1& w^2& (w^2)^2& ...& (w^2)^{n-1}\\ ...& ...& ...& ...& ...&\\ 1& w^{n-1}& (w^{n-1})^2& ...& (w^{n-1})^{n-1}\end{pmatrix}$, $w$ - первообразный (примитивный) корень единицы поля ($1_R$) порядка $n = 2^k, k \in \mathbb{N}$ (по сути - матрица Вандермонда). Обратная матрица должна иметь вид $G_{n,n} = \frac{1}{n}\cdot \begin{pmatrix}1& 1& 1&...& 1\\ 1& w^{-1)& w^{-2}& ...& w^{-(n-1)}\\ 1& w^{-2}& (w^{-2})^2& ...& (w^{-2})^{n-1}\\ ...& ...& ...& ...& ...&\\ 1& w^{-n+1}& (w^{-n+1})^2& ...& (w^{-n+1})^{n-1}\end{pmatrix}$, где $n = n \cdot 1_R =$ $ \underbrace{1_R + 1_R + ... + 1_R}_{n}$. Но для поля $R$ четная сумма $1_R$ получается равной нулю, который не обратим. Отсюда может следовать несколько довольно интересных выводов, в частности - о применимости определенных алгоритмов, но предварительно хотел убедиться, что нигде не ошибся. Буду рад любым мыслям по этому поводу.

[g______d]

SeerThe в сообщении #1123504 писал(а):

$R =GF(2^4)/(x^4+x+1)$

Где-то $[x]$ забыто.

SeerThe в сообщении #1123504 писал(а):

Обратная матрица

Исходная матрица не обратима, у неё определитель равен нулю в поле характеристики 2.

SeerThe в сообщении #1123504 писал(а):

Отсюда может следовать несколько довольно интересных выводов

... в частности, о том, что FFT указанного порядка над данным полем не существует, как вам и написали в соседней теме.

Пара ссылок про поля характеристики 2 есть здесь:

http://mathoverflow.net/questions/40485 ... ite-fields