Обобщенная теорема Вильсона (произв. эл-тов конечного поля)

[Marizza]

Пусть

$$F_q$$

- конечное поле из q элементов. Показать, что

$$\prod\limits_{\alpha\in\mathbb{F_q^*}}\alpha = -1$$

Препод сказал, что это обобщение т.Вильсона, но я в этом сомневаюсь. Как доказать? Помогите пожалуйста....

[Brukvalub]

А почему бы не воспользоваться тем, что все неединичные элементы такого поля можно разбить на пары взаимно-обратных элементов?

[Marizza]

всмысле...я не поняла

[Brukvalub]

Вы не знаете, что такое обратный элемент по умножению к ненулевому элементу в поле

[Marizza]

да нет, я не про это я про то как это применить? На ночь действительно мало чего в голову лезет

[Brukvalub]

Marizza писал(а):

На ночь действительно мало чего в голову лезет

Дождитесь утра, и дело пойдет.

[Marizza]

да, я разбила. но произведение взаимнообратных равно 1! Отукда -1 получить??

[RIP]

Marizza писал(а):

Отукда -1 получить??

Просто $(-1)^{-1}=-1$...

[Профессор Снэйп]

Можно ещё сюда заглянуть

http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=10748

В мультипликативной группе конечного поля минус единица является единственным элементом порядка 2.

Если, конечно, поле не характеристики 2. Если же поле характеристики 2, то элементов порядка 2 в мультипликативной группе этого поля вообще нет, но зато и -1 совпадает с 1.