System of equations - created by mistake

[ins-]

Solve the system:
$x+xy+\frac{1}{xyz}=2$
$\frac{1}{y}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xyz}=3$
$\frac{1}{z}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xyz}=4$

[mihiv]

Обозначим $q=\frac 1{xyz}$. Все неизвестные можно выразить через $q$. Поделим 3-е уравнение на $y$ и вычтем из 2-ого, получим $y=\frac {5-q}3$.
Поделим 3-е уравнение на $q$ и вычтем из 1-ого, получим $x=y+3-q-\frac 4q=\dfrac {-4q^2+14q-12}{3q}$.
После этого находим $z=\dfrac 1{qxy}=\dfrac 9{(5-q)(-4q^2+14q-12)}$. Подставляя выражения для $x,z$ в 3-е уравнение, получим кубическое уравнение для определения $q$:

$$ 4q^3-37q^2+106q- 96=0.$$

Один из корней этого уравнения равен 2, остальные корни находим из квадратного уравнения $4q^2-29q+48=0$. Они равны $\dfrac {29\pm \sqrt {73}}8$. При $q=2 ,y=1$, и не выполняется 2-е уравнение системы. Оставляем поэтому последние два значения $q$, по ним находим $x,y,z$.