Граничные условия второго рода

[denis1994]

Здравствуйте. Рассматривается уравнение теплопроводности в прямоугольнике с граничными условиями второго рода.
При постановке граничных условий в литературе встречаются обозначения $\left.\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}\right|_{\Gamma}=0$ и $\nabla u\cdot\vec{n}\biggr|_{\Gamma}=0$, где $u$ - искомая функция, $\vec{n}$ - внешняя нормаль к границе $\Gamma$ области (прямоугольника).
Объясните, пожалуйста, в чем разница между ними? Взаимозаменяемы ли они?

[NSKuber]

А вы ничего во второй записи не упустили?

[denis1994]

Да, спасибо, поправил.
Помогите, пожалуйста, разобраться.

[NSKuber]

denis1994
Хорошо. Теперь напомните, пожалуйста, что означает запись $\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}$?
Что это за объект, как он определяется?

[denis1994]

NSKuber, насколько я понимаю,

\[ \frac{\partial u}{\partial\vec{n}}=\lim_{h\to0}\frac{u\left(x+h\cdot\vec{n}\right)-u\left(x\right)}{h},\,\,\,x\in\Gamma, \]

производная по направлению $\vec{n}$.

[ewert]

То, что производная по направлению выражается через градиент -- стандартная (и обязательная) теорема. Следует мгновенно из многомерного варианта производной сложной функции.

[denis1994]

NSKuber, ewert, большое спасибо, теперь все понятно!