Теорема единственности для неархимедовых рядов Лорана

[RIP]

Пусть $f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}z^{n}$, где $a_{n}\in\mathbb{Q}_{p}$ (поле $p$-адических чисел), причём ряд сходится (в $\mathbb{Q}_{p}$) при $z=1$ (т.е. $\lim\limits_{|n|\to\infty}\left\lvert a_{n}\right\rvert_{p}=0$). Допустим, что $f(z)=0$ при всех $z\in1+p\mathbb{Z}_{p}$. Верно ли, что все $a_{n}=0$?