Число линейных подпространств.

[Slow]

Задача: Есть векторное пространство размерности $n$ на полем из $q$ элементов. Нужно посчитать количество различных линейных подпространств размерности $k$, которые можно разложить по базису вида:

$$v_1=(1,0,0,...,0,x_1,x_2,...x_{n-k}),v_2=(0,1,0,...0,y_1,y_2,...y_{n-k}),...,v_k=(0,0,...,0,1,z_1,z_2,...z_{n-k})$$

.
Решение(Решения):
Любые два различающихся базиса такого вида будут давать различные подпространства. Предположим обратное ,возьмем два различных набора $v_i$ и $m_i$ которые порождают одинаковые пространства. Тогда для любых $\alpha_i$ найдутся $\beta_i$, что $\alpha_1v_1+...+\alpha_kv_k=\beta_1m_1+...\beta_km_k$, но из вида базисных векторов следует что $\alpha_i=\beta_i$, а значит $v_i=m_i$ Тогда ответ будет $q^{k(n-k)}$
Но с другой стороны кажется что любое подпространство размерности $k$ можно представить в похожем виде, полученном перестановкой первых k координат в другие места. Тогда будет достаточно поделить число всех пространств размерности $k$:

$$\frac{\prod\limit_{i=1}^{k}(q^n-q^{(i-1)})}{\prod\limit_{i=1}^{k}(q^k-q^{(i-1)})}$$

на число сочетаний: ${n \choose k}$. Получаются разные ответы, не могу понять в чем дело

[Slow]

Второе решение точно ошибочно, так как может получиться даже не целое число, но в чем ошибка тогда? И верно ли первое решение?

[Null]

1ый ответ верен. Только надо брать не любые $\alpha_i$, а фиксированные.
Второе решение не могу перевести на язык математики, распишите его подробно- увидите ошибку.