Можно сначала записать преобразование в векторной форме. Допустим, точка
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
с радиус-вектором
![$\mathbf a$ $\mathbf a$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/6/a7657f084547354aafb503c3b02c14b382.png)
— та, которую надо повернуть, а точка
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
с радиус-вектором
![$\mathbf m$ $\mathbf m$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/5/6557e1fc7be3e264167e08e8587ca3fb82.png)
находится на оси вращения. Единичный вектор
![$\mathbf n$ $\mathbf n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/4/fa4229135a77c26ed948d18f167ad01582.png)
параллелен оси вращения. Представим
![$\mathbf a$ $\mathbf a$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/6/a7657f084547354aafb503c3b02c14b382.png)
в виде суммы:
![$\mathbf a=\mathbf m+\mathbf p$ $\mathbf a=\mathbf m+\mathbf p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/c/17cb9c40f58067d6f31312222c30752f82.png)
,
где
![$\mathbf p$ $\mathbf p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/8/9982f849471c2f147b236f6838eb3a1b82.png)
— вектор из
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
в
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
. При вращении
![$\mathbf m$ $\mathbf m$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/5/6557e1fc7be3e264167e08e8587ca3fb82.png)
не изменится, а
![$\mathbf p$ $\mathbf p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/8/9982f849471c2f147b236f6838eb3a1b82.png)
повернётся на некоторый угол
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
вокруг оси (один и тот же для всех точек). Вектор
![$\mathbf p$ $\mathbf p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/8/9982f849471c2f147b236f6838eb3a1b82.png)
можно разложить на составляющую, параллельную оси, и перпендикулярную ей:
![$\mathbf p=\mathbf p_{\parallel}+\mathbf p_{\perp}$ $\mathbf p=\mathbf p_{\parallel}+\mathbf p_{\perp}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/5/d45e3d5fe91e487e03f8e7b15e220efa82.png)
, где
![$\mathbf p_{\parallel}=\mathbf n(\mathbf n\cdot \mathbf p),\;\; \mathbf p_{\perp}=\mathbf n\times(\mathbf p\times \mathbf n)$ $\mathbf p_{\parallel}=\mathbf n(\mathbf n\cdot \mathbf p),\;\; \mathbf p_{\perp}=\mathbf n\times(\mathbf p\times \mathbf n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/9/f69f109ccae769de65e8c8adab2d11d482.png)
При вращении
![$\mathbf p_{\parallel}$ $\mathbf p_{\parallel}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/8/85812925ca9bf9724c0684614bbeb60b82.png)
опять-таки не меняется, а
![$\mathbf p_{\perp}$ $\mathbf p_{\perp}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/0/72021bccf25eca08490b8d4f9510107482.png)
преобразуется некоторым простым образом.