Оптика, система 2016 прозрачных шаров

[Maxim_39]

Всем привет! Прошу помочь с задачей:

Цитата:

В ряд выстроены 2016 одинаковых шариков из материала с показателем преломления $n=2$. Все они плотно прижаты друг к другу, а их центры находятся на одной прямой. Радиусы шариков $R$. На первый шарик пускают горизонтальный узкий пучок света радиуса $r= R/100$. Пятно какого радиуса будет на экране, находящемся на расстоянии 10R от последнего шарика?

Рассматриваю шарик как две линзы - собирающую и рассеивающую - находящиеся на расстоянии между собой $2R$, причем пространство между ними заполнено материалом с показателем преломления $n$. Ясно, что нужно составить уравнение ход луча (иначе как найти угол, под которым луч будет выходить из последнего шара?). Луч идет приближенно по такой траектории (см. рис.): (в «Кванте» за 1973 год была похожая задача, рисунок оттуда).
Проблема в том, что я не понимаю, нужно ли учитывать тот промежуток воздуха между шарами, ч/з который проходит луч? Вообще да, ведь пучок света достаточно узкий, но таком случае я вообще не представляю, как его засунуть в ту самую нужную функцию движения луча? То есть, получается слишком громоздко, ведь этот промежуток зависит от $y$ координаты луча угла, под которым выходит луч и предыдущего шарика.
Может, есть какой-то более красивый и легкий в расчетах путь решения? Спасибо за любое участие!

[Munin]

Этот промежуток нужно представить себе как двояковогнутую "воздушную линзу" в стекле. Когда показатели преломления "вывернуты наизнанку", то двояковогнутые линзы становятся собирающими, а двояковыпуклые - рассеивающими.

[ewert]

Здесь существенно то, что показатель преломления равен именно двум. Это означает, что после преломления на передней поверхности шарика параллельный луч в точности сфокусируется на задней и, соответственно, полностью восстановится как параллельный после прохождения через следующий шарик. А поскольку количество шариков чётно, то и на выходе он таким и останется.

Это, правда, в первом приближении -- если отождествлять углы и их синусы. Что вносит относительную поправку порядка 1/120000 на каждую пару шариков, т.е., навскидку, порядка 1/120 на всю цепочку. Возможно, конечно, что составители задачи это и имели в виду; но -- сильно сомневаюсь, уж очень слабый эффект.

[Maxim_39]

ewert Да, очень существенно, я даже не обратил внимания, все в общем виде решал. Выходит, что пятно будет такого же радиуса, что и исходный луч… Вот да, мелочь, а приятно лол. Спасибо большое, сам бы не знай сколько ещё сидел!
Munin Да, вы правы, но все равно тягомотно очень получается. Если отвечать на конкретный вопрос про пятно, а не составлять функцию, то вон оно всё, как выходит:

Цитата:

...количество шариков чётно, то и на выходе он таким и останется