являются ли числа 1, 2, 3, 5 простыми?

[petrov_ich]

С точки зрения математики 1 - нет, остальные - да. Но при этом они являются исключениями простых арифметических правил:

- никакое чётное число не может быть простым - исключение цифра 2.
- никакое число, сумма цифр которого кратна трём ... - исключение цифра 3.
- никакое число, заканчивающееся на пять ... исключение цифра 5.

Тогда как цифра 1 подходит под критерии простых (делится только на себя и на единицу) и не является исключением. Если нарисоввать простые числа наглядно, то получится что-то вроде:



видно, что цифры 2, 3 и 5 не вписываются в общий порядок (ряды 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29), порядок восстанавливается без них, но с единицей:



Ну и ещё вопрос. Почему для выстраивания простых чисел в ряды требуется делить именно на тридцать (0-29)? Это имеет какое-то объяснение?

[worm2]

Потому что 30 (произведение простых чисел до 5) меньше, чем квадрат следующего простого числа (49).
А произведение простых до 7 (210) уже больше квадрата следующего простого (121).

[provincialka]

petrov_ich в сообщении #1118872 писал(а):

- никакое чётное число не может быть простым - исключение цифра 2.

И никакое число, кратное 7, не может быть простым, кроме 7. В этом смысле 2, 3, 5 не являются исключениями, как раз наоборот.

[Dmitriy40]

А почему это нельзя выстраивать простые в 210 рядов? Или в 6 рядов, или в 2310, или в 30030, или в 510510 (и т.д.)? В любое количество рядов, равное произведению любых простых?

[arseniiv]

petrov_ich
Если единицу считать простым числом, портится основная теорема арифметики (любое положительное целое число можно представить в виде произведения степеней простых единственным образом), т. к. все степени единицы дают одно и то же, и потому порождают кучу эквивалентных разложений. По тем же причинам исключение 2, 3, 5 и любых других из простых делает некоторые разложения невозможными. Это никуда не годится — пользы от существования единственности разложения куда больше, чем от нарушения закономерности, которую вы даже не смогли внятно сформулировать.

petrov_ich в сообщении #1118872 писал(а):

Тогда как цифра 1 подходит под критерии простых (делится только на себя и на единицу)

На самом деле определение простого числа другое: у него ровно два различных делителя (или ровно один за исключением единицы). У единицы один делитель, у составных больше двух и конечное число, у нуля и того больше.

И, пожалуйста, не путайте цифры и числа. Цифры — это знаки, используемые в конкретной системе счисления. Есть, конечно, некоторые фигуральные выражения, но они к математике не относятся.

[mihaild]

(Оффтоп)

petrov_ich в сообщении #1118872 писал(а):

- никакое чётное число не может быть простым - исключение цифра 2.

https://xkcd.com/1122/ - xkcd про исключения из общего правила

[Евгений Машеров]

Если запретить исключения из правила вида "никакие число, делящееся на простое p, не может быть простым", звучащее "...кроме самого p", то, значит, простых чисел не бывает. То есть 7, 11, 13, 17, 19 - это всё не простые.
Что же до причисления единицы к лику простых - от этого никакой пользы, кроме усложнения формулировки некоторых теорем.

[petrov_ich]

Да бог с ней, с единицей. Все простые числа при делении на 30 дают один из 8-ми остатков. Графически это выглядит так, что если поместить простые числа в таблицу с тридцатью строками - они располагаются точно по своим строкам (№1, 7, 11, ...). Цифры 2, 3 и 5 в эти строки не попадают. Только и всего. Я не то что хочу произвести переворот в математике. Просто показалось странным, чего это ВСЕ попадают, а первые три - не попадают? Как то это некрасиво...

[provincialka]

petrov_ich. Ну так это потому, что $30=2\cdot3\cdot5$
А вы попробуйте остатки от деления на 210. И вообще, простые числа -- они такие! Ужасно неправильные. В этом их прелесть (особенно для криптографии)

[petrov_ich]

provincialka в сообщении #1119447 писал(а):

А вы попробуйте остатки от деления на 210.

Да понятно, что можно делить на любое кратное 30-ти число. 30 - минимальное, при котором цифры выстраиваются в ряды.

[arseniiv]

Прежде чем вы дальше продолжите не читать, что писали выше, приведите точное определение выстраивания в ряды. А то у вас сейчас есть исключительное право менять правила игры на ходу. Даже если вы пообещаете им не пользоваться, это всё равно нехорошо.

А то вот, по-моему, ситуация мрачная:

$\begin{array}{ccccc} \text{} & 2 & 3 & 5 & 30 \\ 0 & - & - & - & - \\ 1 & + & + & + & + \\ 2 & - & + & + & - \\ 3 & + & - & + & - \\ 4 & - & + & + & - \\ 5 & + & + & - & - \\ 6 & - & - & + & - \\ 7 & + & + & + & + \\ 8 & - & + & + & - \\ 9 & + & - & + & - \\ 10 & - & + & - & - \\ 11 & + & + & + & + \\ 12 & - & - & + & - \\ 13 & + & + & + & + \\ 14 & - & + & + & - \\ 15 & + & - & - & - \\ 16 & - & + & + & - \\ 17 & + & + & + & + \\ 18 & - & - & + & - \\ 19 & + & + & + & + \\ 20 & - & + & - & - \\ 21 & + & - & + & - \\ 22 & - & + & + & - \\ 23 & + & + & + & + \\ 24 & - & - & + & - \\ 25 & + & + & - & - \\ 26 & - & + & + & - \\ 27 & + & - & + & - \\ 28 & - & + & + & - \\ 29 & + & + & + & + \end{array}$

Ряды.

$\begin{array}{cccc} \text{} & 2 & 3 & 6 \\ 0 & - & - & - \\ 1 & + & + & + \\ 2 & - & + & - \\ 3 & + & - & - \\ 4 & - & + & - \\ 5 & + & + & + \end{array}$

Ряды.

$\begin{array}{ccc} \text{} & 2 & 2 \\ 0 & - & - \\ 1 & + & + \end{array}$

Ряды.

$\begin{array}{cc} \text{} & 1 \\ 0 & + \end{array}$

Диэдр сохрани, опять ряды!!

[provincialka]

petrov_ich в сообщении #1119541 писал(а):

Да понятно, что можно делить на любое кратное 30-ти число.

Не, не любое, кратное $30$ я имею в виду $210=2\cdot3\cdot5\cdot7$, то есть произведение первых четырех простых. А то вы почему-то тремя ограничились... хм..

[Dmitriy40]

Даже если взять не только первые простые числа, а вообще любые, то всё равно будут ряды в остатках при делении на их произведение (выбранных простых). Это же следует прямо из определения простых чисел и используется в решете Эратосфена.

[petrov_ich]

provincialka в сообщении #1119555 писал(а):

Не, не любое, кратное $30$ я имею в виду $210=2\cdot3\cdot5\cdot7$, то есть произведение первых четырех простых. А то вы почему-то тремя ограничились... хм..

т.к. произведение $2\cdot3\cdot5 = 30$, то все последующие умножения на любые числа дадут число, кратное 30.

[arseniiv]

Мы так будем ходить по кругу.