Подмножества Q в экспоненциальной топологии

[Chordewa]

Рассматриваю вот такую задачу:
Дано множество типа $F_\sigma$ на отрезке $[0,1]$: $Q\cap[0,1]$; $X=[0,1]$. Доказать, что семейство всех замкнутых множеств лежащих в $Q$ будет борелевским в экспоненциальной топологии.
Мой ход решения:
Пусть $2^Q$ - семейство всех замкнутых подмножеств $Q$ в экспоненциальной топологии. Т.к $Q$ типа $F_\sigma$, то по определению оно является счетным объединением замкнутых множеств $A_i$. Из определения экспоненциальной топологии, т.к $A_i$ замкнуто в $Q$, то все семейства $2^{A_i}$ замкнуты в $2^Q$. Очевидно, что все семейства $2^{A_i}$ содержатся в $2^Q$. А никаким другим замкнутым семействам в $2^Q$ неоткуда взяться.
Поэтому $2^Q$ представляет собой счетное объединение замкнутых семейств $2^{A_i}$ $\Rightarrow$ $2^Q$ борелевское множество типа $F_\sigma$ в экспоненциальной топологии.

Подскажите, в чем ошибка?