Про "запутанные" частицы

[Munin]

Начал смотреть, что там у вас да как.

Увидел пока такую картину: "матричную механику" (ФЛФ/Сасскинд) вы читали, а "волновую" - ни в дугу не понимаете.

Например, на сообщение post1065374.html#p1065374 не поступило никакой реакции.

-- 01.05.2016 13:13:05 --

Muha_ в сообщении #1119790 писал(а):

Допустим, нам нужно описать простейший случай с прецессией спина в магнитном поле.

Допустим, это не простейший случай.

Сасскинд может называть его простейшим. Он и будет простейшим, в "матричной механике". Но в "волновой механике" - отнюдь нет. А вот что простейший случай в "волновой механике"... это вопрос вам на зачёт.

Muha_ в сообщении #1119790 писал(а):

Знаю. Вы уже отправляли меня к барабану и я уже к нему ходил.

Не дошли, судя по всему.

Muha_ в сообщении #1119790 писал(а):

Знать бы почему.

Слишком много объяснять на каждое предложение, поэтому я и сократил до одной фразы.

Захотите знаний - добро пожаловать, ЛЛ всегда открыт. Но вы ж не хотите.

Muha_ в сообщении #1119790 писал(а):

Для того чтобы описать эволюцию системы нужно описать ее в энергетическом базисе

НЕТ.

Это - один из способов. Не единственный. Надо знать про другие. Надо знать, в чём их общая суть.

Muha_ в сообщении #1119790 писал(а):

Или из уравнения Шредингера следует не только это? Или я что-то пропустил.

Вы пропустили примерно 2/3 квантовой механики.

-- 01.05.2016 13:15:12 --

Munin в сообщении #537979 писал(а):

Миф о том, что в квантовой механике основой описания является функция распределения вероятности, расхож среди людей, которым когда-то как-то читали квантовую механику, но с тех пор эти знания толком не задействовались.

[Muha_]

Munin в сообщении #1119796 писал(а):

Например, на сообщение post1065374.html#p1065374 не поступило никакой реакции.

Потому что ваш ответ в целом меня устроил. Но мне показалось, что волновые функции - это не более чем просто очень большие векторы из комплексных чисел. Благодаря большому размеру в них появляется новый (по отношению к матрицам) и основной способ перехода в другой базис - преобразование Фурье. Это понятно математически, но полное образное понимание этого факта "на пальцах" мне ухватить пока не удалось. Само преобразование Фурье понятно в всех отношениях. Как вариант, можно не торопиться и заняться дальнейшим развитием математического понимания.

Munin в сообщении #1119796 писал(а):

Это - один из способов. Не единственный. Надо знать про другие. Надо знать, в чём их общая суть.

Трудно искать черную кошку в темной комнате не будучи уверенным что она там есть. Действия с операторами рождения и уничтожения выглядят как магия, если не изучать всю математику операторов и коммутаторов от начала (даже не знаю как она называется). Если я научусь применять все описанные в ЛЛ приемы, то не видно как это поможет мне понять базовые утверждения КМ, которые мне интересны.

[arseniiv]

Muha_ в сообщении #1119863 писал(а):

Благодаря большому размеру в них появляется новый (по отношению к матрицам) и основной способ перехода в другой базис - преобразование Фурье.

Ничего не новый. Линейный оператор как линейный оператор.

[Munin]

Muha_ в сообщении #1119863 писал(а):

Потому что ваш ответ в целом меня устроил.

А суть-то не в том, устроил ли он вас. Суть в том, чтобы вы что-нибудь оттуда поняли, и чтобы поняли направление дальнейшего изучения предмета. А этого ни черта не воспоследовало.

Muha_ в сообщении #1119863 писал(а):

Благодаря большому размеру в них появляется новый (по отношению к матрицам) и основной способ перехода в другой базис - преобразование Фурье.

Нет. Не основной. Яркий пример, но не "основной".

Muha_ в сообщении #1119863 писал(а):

но полное образное понимание этого факта "на пальцах" мне ухватить пока не удалось.

Именно.

Muha_ в сообщении #1119863 писал(а):

Само преобразование Фурье понятно в всех отношениях.

Вы же в волнах не разбираетесь. Значит, не понятно.

Muha_ в сообщении #1119863 писал(а):

Трудно искать черную кошку в темной комнате не будучи уверенным что она там есть.

Конечно. Именно этим самообразование отличается от образования. Вы общаетесь с людьми, которые знают, что кошка есть. Они её давным-давно там нашли.

Muha_ в сообщении #1119863 писал(а):

Если я научусь применять все описанные в ЛЛ приемы, то не видно как это поможет мне понять базовые утверждения КМ, которые мне интересны.

Вам - не видно. Мне - видно.

[arseniiv]

Кстати, да, про Фурье. Несмотря на то, что они математически для разных размерностей пространства не отличаются, физически небольшая смысловая разница будет у результатов преобразования, скажем,
• функции времени,
• поля в пространстве,
• поля в пространстве-времени.
Точно всё ясно?

[Muha_]

(про Фурье и имел ввиду, что он понятен на пальцах как математический прием)
Понятно. После матричного представления изучать волны и еще раз волны. Иначе это еще не та КМ.

[Munin]

Ф-фух.

Можно не после, можно вместе.

[Cos(x-pi/2)]

Muha_ в сообщении #1119661 писал(а):

Почему как только мы прицепляем к каждой вероятности фазу мы получаем исчерпывающее описание состояния системы? Почему именно фазу и почему фазы достаточно? За этим должно стоять что-то очень простое и фундаментальное.

"Штрих-пунктирный" ответ:

(Штрих-пунктирный ответ)

За этим стоит теория групп, а конкретнее - понятие об унитарных неприводимых представлениях (НП) однопараметрических групп преобразований...

Вспомните, как ребёнок познаёт мир? Он пробует разобрать каждую игрушку на части: посмотреть, из чего она состоит. А как Вы узнаёте, что окружающий мир состоит из частей? Так же: подвергаете наблюдаемую картину преобразованиям - вертите перед глазами всё на разные углы $\alpha$, двигаете ближе-дальше на разные расcстояния $\vec{a}$, повторяете опыты через разные промежутки времени $\tau.$ И замечаете тем самым, что мир состоит из частей: составная часть это то, что преобразуется неприводимо (т.е. независимо от других частей) по отношению к заданному виду преобразований.

Та же идея на языке математики: мы предполагаем, что "элементарные части мира" в теории следует описывать функциями (векторами состояний, амплитудами вероятности), реализующими НП групп преобразований.

1) Для примера рассмотрите группу операторов сдвига $\hat T(a_x \vec{e}_x)$ какого-либо квантового объекта вдоль декартовой оси $x$ на расстояние $a_x.$ Ясно, что "облако амплитуды вероятности" $\psi(x)$ при таком сдвиге превращается в $\psi(x-a_x).$ Теория групп учит: НП в данном случае должны быть одномерными. Т.е. самые элементарные (по отношению к сдвигам) функции $\psi(x)$ это те, которые при сдвиге просто-напросто умножаются на числа. Поскольку $|\psi(x)|^2$ имеет смысл плотности вероятности, то она не должна при сдвиге облака вероятности "к краю вселенной" неограниченно расти, и поэтому нам не подходят функции типа $e^{k_x x}$ или $e^{-k_x x}$ с вещественным параметром $k_x$ в показателе. Подходят только функции с мнимым показателем, т.е. имеющие вид (с точностью до произвольного нормировочного множителя):

$$\psi_{k_x}(x)=e^{ik_x x}$$

Такими функциями реализуются унитарные НП группы операторов $\hat T(a_x \vec{e}_x).$ Попросту говоря, такие функции ограничены и при сдвиге лишь умножаются на число, без изменения функциональной зависимости от координаты: $e^{ik_x x}$ переходит в

$$e^{ik_x (x-a_x)}=e^{-ik_x a_x}\, e^{ik_x x}$$

Важный экспериментальный факт о нашем мире: сдвиги вдоль разных направлений коммутативны. Следствие этой коммутативности: унитарные НП группы трёхмерных сдвигов $\hat T(\vec{a})$ одномерны и реализуются экспоненциальными функциями с мнимым показателем:

$$\psi_{k_x, k_y, k_z}(x,y,z)=e^{i(k_x x+k_y y+k_z z)} = e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} \equiv \psi_{\vec{k}}(\vec{r})$$

Действительно, при сдвиге каждая такая функция с любым векторм $\vec{k}$ просто умножается на число $e^{-i \vec{k} \cdot \vec{a}}:$

$$\psi_{\vec{k}}(\vec{r}-\vec{a})=e^{-i \vec{k} \cdot \vec{a}} \, \psi_{\vec{k}}(\vec{r})$$

В квантовой теории такие функции $\psi_{\vec{k}}(\vec{r})$ называются плоскими волнами и применяются для описания "состояний квантовой частицы с определённым импульсом"; векторный параметр $\vec{k}$ по определению называется "импульсом" в единицах обратной длины. В качестве дополнительного упражнения Вы можете убедиться, что оператор сдвига допускает запись в виде

$$\hat T(\vec{a})=e^{-i\vec{a} \cdot \hat {\vec{k}}}$$

где оператор

$$\hat {\vec{k}} = -i \nabla$$

называется "оператором импульса" (в единицах обратной длины), причём функции $\psi_{\vec{k}}(\vec{r})$ удовлетворяют уравнению:

$$\hat {\vec{k}} \, \psi_{\vec{k}}(\vec{r}) = \vec{k} \, \psi_{\vec{k}}(\vec{r}). $$

2) Аналогично рассмотрите в группе трёхмерных вращений подгруппу операторов поворота $\hat R (\alpha \vec{e}_z)$ какого-либо квантового объекта на всевозможные углы $\alpha$ вокруг декартовой оси $z.$ Унитарные НП этой подгруппы одномерны и реализуются функциями, зависящими от азимутального угла $\varphi$ сферической системы координат $r, \theta, \varphi$ тоже по закону экспоненты с мнимым показателем:

$$\psi_m(r, \theta, \varphi) \, \propto \, e^{im \varphi},$$

ибо тем самым при повороте вокруг оси $z$ обеспечивается просто-напросто умножение такой функции на число:

$$\hat R (\alpha \vec{e}_z) \, \psi_m(r, \theta, \varphi) = \psi_m(r, \theta, \varphi - \alpha)=e^{-i m \alpha}\psi_m(r, \theta, \varphi).$$

Присутствующий здесь параметр $m \equiv l_z$ в КМ по определению называется проекцией $l_z$ орбитального момента импульса $\vec{l}$ на ось $z$ в безразмерных единицах.

Важный экспериментальный факт о нашем мире: повороты вокруг различных направлений в общем случае некоммутативны. Как следствие, НП для группы трёхмерных вращений устроены сложнее, чем для группы сдвигов. Базисные функции НП группы вращений нумеруются не вектором $\vec{k}$, а парой чисел $l,m,$ где число $l =0, 1, 2, ...$ в КМ называется "величиной орбитального момента" в безразмерных единицах. При заданном $l$ базисные функции НП составляют $(2l+1)$-мерный мультиплет с $m=l,\, l-1, \, ... \, -l. $ Функции в каждом мультиплете при поворотах линейно преобразуются друг через друга, не смешиваясь с функциями из других мультиплетов. Детальный анализ показывает, что зависимость от угла $\theta$ у функций в мультиплете даётся известными в математике присоединёнными функциями Лежандра $P_l^m (\theta),$ так что с точностью до нормировочного множителя базисные функции НП группы вращений имеют вид:

$$\psi_{n_r, l, m}(r, \theta, \varphi) = R_{n_r,l}(r)\,P_l^m( \theta) \, e^{im \varphi},$$

где радиальная часть $R_{n_r,l}(r)$ не определяется группой вращений; индекс $n_r$ здесь служит для нумерации линейно независимых радиальных функций в мультиплете с заданным $l$. Угловую часть с надлежащими нормировочными множителями принято обозначать как $Y_{lm}:$

$$Y_{lm}( \theta, \varphi) \, \propto \, P_l^m( \theta) e^{im \varphi}.$$

В КМ фундаментальную роль играют ещё и "двузначные НП" (спинорные представления) группы трёхмерных поворотов - это основа квантового понятия о спиновом моменте импульса электронов и атомных ядер, и о принципе запрета Паули; не стану комкать этот важный сюжет в "штрих-пунктирное" изложение.


3) Наконец, рассмотрите группу сдвигов вдоль оси времени $t$. Сдвиг на временной интервал $\tau$ играет роль оператора эволюции $\hat U(\tau),$ превращающего $\psi(t)$ в $\psi(t+\tau).$ Эволюция квантового состояния от $\psi(0)$ до $\psi(t),$ т.е. от нулевого момента времени до времени $t$ описывается как результат применения к $\psi(0)$ оператора эволюции $\hat U(t).$ Очевидно, по аналогии со сдвигами вдоль пространствнной оси, здесь НП даются экспонентами с мнимым показателем:

$$\psi_{\omega}(t)= e^{-i \omega t},$$

ибо при сдвиге вдоль оси времени такая функция просто-напросто умножается на число:

$$\psi_{\omega}(t+\tau)= e^{-i \omega \tau} \psi_{\omega}(t).$$

В квантовой теории параметр $\omega$ по определению называется "энергией" в единицах частоты.

При этом опыты обнаруживают чудо: удаётся из опытов вычислить универсальную (одинаковую для всех квантовых объектов!) константу $\hbar$ такую, что она превращает квантовые размерности механических величин в классические размерности, установленные задолго до открытия КМ:

$\hbar \vec{k}=\vec{p}$ - импульс в классических единицах импульса,
$\hbar l$ - момент импульса в классических единицах момента импульса,
$\hbar \omega = E$ - энергия в классических единицах энергии.

Это важный факт в анализе происхождения законов классической механики. Важный наряду с теоремами Эренфеста (показывающими, как формулы классической механики возникают "в среднем по квантовым состояниям") и важный наряду с интегралом по траекториям Фейнмана (показывающим происхождение принципа наименьшего действия в классической механике). Этот круг идей можно назвать принципом соответствия классической механики квантовой механике; из него следует гипотеза в КМ, согласно которой "по образу и подобию" классической функции Гамильтона $H(\vec{p}, \vec{r})$ для конкретной модели можно строить оператор энергии $\hat H$ квантового объекта, эволюционирующего в однородном времени $t$. При этом оператор эволюции есть

$$\hat U(t)=e^{-i \hat H t / \hbar}.$$

Соберём теперь всё вместе, притом не брезгуя данными опытов. Рассмотрим в качестве "элементарных частей" окружающего нас мира известные из опыта атомы, с их электронами и ядрами. Если электрон в атоме находится в стационарном состоянии в сферически симметричных условиях, то разумно думать, что тогда допустимые для него волновые функции (орбитали) реализуют НП группы трёхмерных поворотов и сдвигов во времени:

$$\Psi_{n_r, l, m}(r, \theta, \varphi, t) = \hat U(t) \Psi_{n_r, l, m}(r, \theta, \varphi, 0)=\psi_{n_r, l, m}(r, \theta, \varphi) e^{-iE_{n_r, l, m}t / \hbar}.$$

Очевидно, параметр $E=\hbar \omega$ здесь не произволен, а определяется уравнением (с надлежащими граничными условиями):

$$\hat H \, \psi_{n_r, l, m}(r, \theta, \varphi) = E_{n_r, l, m} \, \psi_{n_r, l, m}(r, \theta, \varphi) \, ,$$

где, как мы уже знаем,

$$\psi_{n_r, l, m}(r, \theta, \varphi) = R_{n_r,l}(r) \, Y_{lm}(\theta, \varphi) \, ,$$

причём функция $Y_{lm}$ универсальна - она не зависит от формы сферически симметричного потенциала $U(r)$ в гамильтониане $\hat H.$ Эта же симметрия гарантирует, что допустимые значения энергии $E$ не зависят от проекции момента импульса $m,$ т.е. $E=E_{n_r,l}.$ Фактически, здесь уравнение Шрёдингера $\hat H \psi = E \psi$ сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению для радиальной части орбитальной волновой функции, и анализ показывает, что:

а) номером $n_r$ служит число "узлов" радиальной функции: $n_r=0,1,2,3,\,...$ ,
б) в разумных моделях атома оказывается, что с неплохой точностью значения одноэлектронных уровней энергии $E_{n_r,l}$ сильно зависят только от суммы вида $n=n_r+l+1=1,2,3,\,...\,$ а не в отдельности от "квантовых чисел" $n_r$ и $l.$ Тогда, с учётом количества $2l+1$ допустимых значений $m,$ имеем $n^2$ одноэлектронных орбиталей с почти совпадающими значениями энергии $E_{n_r,l} \approx E_n.$

Поскольку на каждой орбитали $\psi_{n_r, l, m}$ электрон может находиться в любом из двух состояний, различающихся проекцией спина, а в пренебрежении магнитным полем спин не влияет на энергию электрона, то имеется $2n^2=2,\, 8, \, 18, \, 32, \, ...$ одноэлектронных квантовых состояний с близкими значениями одноэлектронной энергии с заданным $n.$ Вместе с принципом Паули этот факт в итоге ведёт нас к пониманию происхождения "Периодической системы элементов"- важнейшего эмпирического закона о строении нашего мира в терминах химии!

Мораль: свойства атомов, как составных частей окружающего нас мира, почти полностью определяются их симметрией по отношению к трёхмерным поворотам. Анализ таких, казалось бы, мелких деталей, как электронные "орбитали", оказался важным для понимания свойств мира! Комплексные функции появляются в квантовой теории по простым, но фундаментальным причинам: это проявление групп симметрии в математическом аппарате КМ. При этом КМ вскрывает связь между основными физическими величинами (импульс, момент импульса, энергия) и симметриями пространства (однородность, изотропия) и времени (однородность) более явно, чем классическая механика; а сама классическая механика представляется в некотором смысле "предельным случаем" КМ.

Подобным же образом, т.е. на основе анализа симметрии, строится КМ-теория молекул (см. ЛЛ-3). Овладев этой идеологией и соответствующим математическим инструментарием, Вы поймёте, что отчасти аналогичным образом идеи симметрии способствуют проникновению человеческого разума в тайны строения микромира и на масштабах, много меньших размера атомов!

[V_V_V]

Munin в сообщении #1119777 писал(а):

Понять, что именно на волновую функцию действует уравнение эволюции (уравнение Шрёдингера).

А вот что пишет Дирак по поводу квантовомеханической эволюции, якобы описываемой уравнением Шредингера: «Обычно предполагается, что векторы состояний суть векторы в гильбертовом пространстве, - и в этом случае они должны обладать координатами. Здесь я должен оговориться: термин гильбертово пространство употребляется мною в том смысле, в котором он первоначально употреблялся самим Гильбертом – в смысле пространства бесконечной размерности, но все еще сепарабельного, т.е. такого пространства, которое можно натянуть на счетное множество векторов. Сегодня математики употребляют термин гильбертово пространство в более общем смысле, распространяя его и на несепарабельные пространства; однако, когда я, где бы то ни было, буду упоминать гильбертово пространство, под ним следует понимать сепарабельное гильбертово пространство. Векторы в таком сепарабельном гильбертовом пространстве можно представить с помощью координат. Это приводит нас к заключению, что в квантовой теории поля векторы состояний не принадлежат гильбертову пространству. Мы можем начать с определенного вектора состояния в гильбертовом пространстве в какой-то определенный момент времени. Предположим, что мы заставим вектор изменяться во времени в соответствии с уравнением Шредингера; что с этим вектором тогда произойдет? Грубо говоря, он будет выбит из гильбертова пространства за наименьший возможный интервал времени. Взаимодействия, которые физически существенны в квантовой теории поля, столь сильны, что любой шредингеровский вектор состояния будет выбит из гильбертова пространства за наименьший возможный промежуток времени. Таким образом, невозможно получить решение уравнения Шредингера, для которого вектор состояния остается в гильбертовом пространстве. Поэтому шредингеровская картина неработоспособна» (П.А.М. Дирак, Лекции по квантовой теории поля. М.: Мир, 1971, С. 14-15).

[bayak]

Cos(x-pi/2), в своём штрих-пунктирном ответе Вы завуалировано упомянули, что симметрии поворотов в евклидовом 3-мерном пространстве приводят к расщеплению волновой функции. Однако повороты в пространстве Минковского требуют уже учетверения волновой функции. Тем самым, прицепить к вероятности фазу будет недостаточно - КМ барахтается в четырёхмерном комплексном пространстве, и поэтому тайну квантовой механики следует искать в ответе на вопрос - где же всё-таки на самом деле движется квантовая частица.

[chemist777]

Munin в сообщении #1119639 писал(а):

Я знаю единственную книгу, которая позиционируется как популярная, но по содержанию не ниже учебника, а даже выше. Это
Пенроуз. Путь к реальности.

Посмотрел. Действительно супер (все главы). Очень нравится.

[dvb]

bayak в сообщении #1120237 писал(а):

тайну квантовой механики следует искать в ответе на вопрос - где же всё-таки на самом деле движется квантовая частица

Вы пытаетесь обнаружить в КМ кинематику - она там появляется только в квазиклассическом приближении. Причина в этом самом "дуализме волна-частица". В импульсном представлении частица появляется, но в импульсном пространстве она никуда не движется. В координатном представлении частицы нет - есть эволюционирующая волна в пространстве, ассоциируемая с частицей, но собственно частица появится только в момент ее экспериментальной регистрации, когда волна, как говорят "коллапсирует". Если даже в координатном представлении представить частицу как волновой пакет, то для массивных частиц он расплывается со временем, и опять с кинематикой проблемы...

[bayak]

dvb в сообщении #1130952 писал(а):

Вы пытаетесь обнаружить в КМ кинематику - она там появляется только в квазиклассическом приближении.

Нет, в КМ надо искать не кинематику, а динамику случайного движения. В качестве простейшей модели следует рассмотреть марковский процесс случайного блуждания по поверхности цилиндра, где образующая цилиндра служит 1-мерным пространством наблюдателя.

[arseniiv]

А почему бы не подходить к КМ так, как это описывают современные учебники, м? Это скучно или там, скажем, немодно?

[bayak]

arseniiv, это не скучно, но здесь речь о другом - о тайнах квантовой механики.