Указать натуральное число

[timber]

Есть трудности с решением вроде бы тривиальной задачи.
Необходимо указать натуральное число $n>1$ такое, что $2^n > n^{1000}$.
Прологарифмировал обе части. Получилось выражение $(n /\log n) > (1000/\log 2)$
Ну а что дальше, не пойму?
Помогите, пожалуйста.

[mihailm]

Так подберите, без логарифмов

[DeBill]

timber
Пусть $n=10^k$. Но $2^{10} > 10^3$. ...

[timber]

Вы шутите. А я нет.
У меня была идея с подбором значений, но стало лень считать степени двойки больше 10. Не могу оперировать такими большими значениями.
Вы даете подсказки в виде указаний. Но мне так не понятно.
Можете давать подсказки в виде направляющих вопросов?

[RIP]

Ищите нужное $n$ в виде $n=2^{k}$. Какому условию должно удовлетворять $k$? Upd. Хотя лучше $n=1000k$.

-- Ср 20.04.2016 23:01:29 --

Дальше можно по-разному. Например, можно очень грубо оценить $2^{k}$ снизу через бином Ньютона: $2^{k}=(1+1)^{k}=\dotsb$. Можно, конечно, этот трюк сразу применить для $2^{n}$, но через $k$ проще будет.

[mihailm]

timber в сообщении #1117062 писал(а):

...Можете давать подсказки в виде направляющих вопросов?

Подставьте вместо $n$ миллиард и выпишите слева миллиард двоек, а справа тысячу миллиардов.

[timber]

У меня получилось $n=16384$.
Такое может быть?

[Skyfall]

timber
Да, это значение подходит http://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5E16384+%3E+16384%5E1000
Но это не минимальное подходящее)

[arseniiv]

А тут и не требуется минимальное.

timber в сообщении #1117062 писал(а):

У меня была идея с подбором значений, но стало лень считать степени двойки больше 10. Не могу оперировать такими большими значениями.

$2^{10}$ чуть больше $1000$, так что $2^{20}$ больше $1000\,000$. Можно убедиться, что последнего хватит.

[timber]

Получилось число 13747. Методом подбора.
Но не думаю, что это математическое решение.
Должно быть гораздо проще.

[arseniiv]

timber в сообщении #1117180 писал(а):

Должно быть гораздо проще.

Да, берёте любое, которое удовлетворяет неравенству. Наименьшего искать не сказано. Гораздо проще здесь рассмотреть сразу степень двойки или тысячи, на которые 13747 не очень похоже.

«Математическим» решением было бы рассмотреть побольше (чтоб уж наверняка) разных свойств функции $x\mapsto x/\log_b x$. Это будет из пушки по воробьям — но если вам хочется, никто не запретит.

[timber]

Ну да.
13747 -- наименьшее натуральное, удовлетворяющее неравенству, но не степень двойки.
То, что выше -- 16384, наименьшее из степени двойки, как было предложено искать $2^k$.
Причем ищется оно гораздо проще из выражения $(n/\log n) > (1000 /\log 2)$, если заменить $n = 2^k$. Тогда получаем $2^k > 1000k$ и тут минимальное $k=14$.
Другое не приходит в голову.

[grizzly]

timber в сообщении #1117200 писал(а):

Другое не приходит в голову.

Может какие-нибудь ещё свойства логарифмов знаете? Вот один из простейших намёков на устное решение для $n<2^{14}$: попробуйте доказать, что $\log_2 16000<4+3\cdot 4=16$.

[timber]

Так какой ответ считать правильным решением задачи -- конкретное число $n$ или границы числа, например $2^{13} < n < 2^{14}$?

[mihaild]

timber
У вас была задача "указать натуральное число"? Тогда ответом, очевидно, должно быть натуральное число.