сходимость и экстремумы

[loshka]

Здравствуйте подскажите пожалуйста ответ на 2 вопроса
1)Хотелось бы почитать книгу об истории математики где бы подробно излагалось кто когда и где получил свои результаты в вопросах поточечной, равномерной и квазиравномерной сходимости подскажите какую лучше книгу об этом почитать
2)ограниченная функция заданная на отрезке $[a;b]$ может ли иметь несчетное число строгих локальных экстремумов?
Мой вариант что не может. Возьмем возрастающую последовательность точек в которых функция имеет строгий локальный экстремум, сначала рассмотрим случай когда все они за исключением конечного числа точек чередуются по минимуму и максимуму, т.е. $x_1,x_2,...x_k...$ где пусть $x_1$-максимум $x_2$-минимум и т.д. тогда разбиваем на интервалы монотонности и эти интервалы не пересекаются, значит их не более чем счетно. Теперь пусть функция имеет строгие локальные максимумы, но не имеет строгих локальных минимумов, т.е. это значит, что пусть $x_1$ и $x_2$ максимумы тогда существует множество точек $x^\alpha$ из $P$ таких что $x_1<x^\alpha<x_2$ и $f(x_\alpha)=\operatorname{const}$ но тогда можно выбрать 2 точки $x^1 , x^2$ из $P$ таких что $x^1 < x^2$ и разбить на не пересекающиеся интервалы $(x_1;x^1)$ $(x_2;x^2)$ и так для всех строгих локальных максимумов. Не факт что $x_1<x_2$ но это никак не влияет на способность разбить на интервалы
Верны ли мои рассуждения?

[mihaild]

1) что такое $P$?
2) как именно вы упорядочиваете максимумы? если $x_0 < x_1$ - локальные экстремумы - не следует, что найдется $x^\prime$ - локальный экстремум, такой что $x^\prime > x_0$ и на $(x_0, x^\prime)$ нет локальных экстремумов (т.е. для данного экстремума может и не существовать "ближайший справа")

[provincialka]

loshka
Вы заранее берете счетное число экстремумов и утверждаете, что в промежутках между ними функция монотонна? Я правильно вас поняла? Но ведь существуют непрерывные функции, не монотонные ни на каком промежутке.

[Anton_Peplov]

loshka в сообщении #1116876 писал(а):

ограниченная функция заданная на отрезке $[a;b]$ может ли иметь несчетное число строгих локальных экстремумов?

По определению, у каждой точки экстремума есть окрестность, в которой нет других точек экстремума. Задаемся вопросом, существует ли в области определения несчетное множество попарно непересекающихся открытых множеств. Думаем про слово "сепарабельность".
UPD: на зачеркнутую фразу не нужно обращать внимания, а вот сепарабельность, по-моему, тут все-таки при делах.

[DeBill]

loshka
2) Ограниченность функции - не по существу: взяв суперпозицию с арктангенсом, сведем неогр. случай к огр.

loshka в сообщении #1116876 писал(а):

разбиваем на интервалы монотонности и эти интервалы не пересекаются

Вы молчаливо предполагаете, что между вашими точками нет других экстремумов. Но - вдруг оно натыканы плотно.
? Чередование монотонности - это глюк, навеянный картинками для непрерывных функций.

loshka в сообщении #1116876 писал(а):

Теперь пусть функция имеет строгие локальные максимумы, но не имеет строгих локальных минимумов,

Но возможны и всякие промежуточные варианты

loshka в сообщении #1116876 писал(а):

и $x_\alpha=\operatorname{const}$ но т

С чего это вдруг?
Короче, все эти попытки - нехороши...
Попробуйте иначе: кого-то - много. Пусть - максимумов. Поставим в соответствие каждому максимуму $a$ интервал с рациональными концами, на котором функция строго меньше ее значения в точке $a$....

[provincialka]

Anton_Peplov в сообщении #1116893 писал(а):

По определению, у каждой точки экстремума есть окрестность, в которой нет других точек экстремума.

Разве так? Я что-то такого не слышала ... Думала, просто значение больше/меньше всех других в окрестности

[DeBill]

Вау, сколько нас... Щас мы напомогаем!

[provincialka]

DeBill
Не-не, я пас... Давайте вы... Я просто не люблю этого детского представления о "промежутках монотонности"

[loshka]

DeBill Мне препадователь тоже самое предлагал, но мне эта идея так жутко не нравится, что я попытался найти другую, но моя явно не рабочая.
Что-то я выше явно чушь написал, промежутки монотонности выполнены только для конечного случая экстремумов

[Anton_Peplov]

provincialka в сообщении #1116897 писал(а):

Разве так? Я что-то такого не слышала ...

И я не слышал. Я это придумал, и придумал неправильно. Посыпаю голову пеплом и прошу в дальнейшем не обращать внимания.

[DeBill]

loshka в сообщении #1116903 писал(а):

Мне препадователь тоже самое предлагал, но мне эта идея так жутко не нравится,

А куда деваться?
Забавно: мы, препОды, все мыслим параллельно...

[mihaild]

loshka в сообщении #1116903 писал(а):

промежутки монотонности выполнены только для конечного случая экстремумов

Даже для них не выполнены. Возьмите функцию, не имеющую экстремума ни в одной точке, и поменяйте ее значение в паре точек чтобы получить пару экстремумов.

[loshka]

mihaild
Вы прямо рушите мое представление о мире, как это возможно если на интервале я взял строгий максимум например он всего один в точке $x_0$, тогда промежутки монотонности $[a;x_0]$ $[x_0;b]$

[provincialka]

loshka
Есть такая хорошая книжка, Б. Гелбаум, Д. Олмстед. Контрпримеры в анализе. Но если боитесь за своё представление о мире -- лучше не читайте! Там жуткие "монстры" математические водятся...

[mihaild]

loshka
А как вы будете выбирать $a$?
Существуют и не монотонные ни на одном промежутке функции (даже непрерывные).