Будет ли A самосопряжённым?

[Walt Disney]

Ещё раз всем привет,вот ещё одна задачка из серии сопряженные операторы и самосопряженные операторы в гильбертовых пространствах,очень нужна помощь.

Необходимо найти сопряжённый оператор A^* к оператору A\colon l_2\to l_2 действующий по следующей формуле:Ax=(x_1+x_2,x_2,x_3,...),\quad x=(x_1,x_2,...)\in l_2 и так же доказать будет ли A самосопряжённым?

вот моё начало решения:
В гильбертовом пространстве A^* является сопряжённым к оператору A, если \forall x,y\in l_2 выполнено:
(Ax,y)=(x,A^*y). Комплексное пространство \it l_2 становиться гильбертовым, если для любых двух его элементов x=(x_1,x_2,...)\quad \mbox{и}\quad y=(y_1,y_2,...) положить \sum\limits_{i=1}^\infty x_i\overline y_i}. Сходимость этoго ряда для любых x и y из \it l_2 вытекает из неравенства Буняковского для рядов.
Рассмотрим скалярное произведение:
(Ax,y)=\sum\limits_{i=1}^\infty (Ax)_i\overline y_i=...=(x,A^*y)
В общем у меня проблема с переходом к сопряжённому оператору,помогите пожалуйста дорешать и будет ли получившийся оператор самосопряжённым?

[RIP]

А в чём проблема? Для начала просто вместо $(Ax)_i$ напишите, чему оно равно, а потом преобразуйте полученное выражение к виду

$$\sum_{n=1}^\infty x_n\overline{(\text{что-то})}_n$$

.

P.S. У Вас там вместо $l_2$ написано $l_1$.

[Walt Disney]

где у меня не правильно написано?
в том-то и дело что я не могу понять чему у меня будет равно(Ax)_i,меня сбивает вот это с толку Ax=(x_1+x_2,x_2,x_3,...),было бы намного проще если бы Ax=(x_1,x_2,x_3,...) тогда и решать в принципе нечего:
(Ax,y)=\sum\limits_{i=1}^\infty (Ax)_i \overline y_i=\sum\limits_{i=1}^n x_i\overline y_i=\sum\limits_{i=1}^\infty x_i\overline{(A^*y)_i}=(x,A^*y)
вот...
а при Ax=(x_1+x_2,x_2,x_3,...) у меня и пределы суммирования изменяться(только вот как?) и я не могу понять чему же всё таки будет равняться (Ax)_i?
P.S.извините за грубые выкладки,но времени нет так как сессия идёт,если у кого есть свободных пять минут объясните мне всё подробно пожалуйста

Добавлено спустя 8 минут 35 секунд:

как я понимаю:
(Ax,y)=\sum\limits_{i=1}^\infty (Ax)_i\overline y_i=\sum\limits_{i=1}^? x_{i+1}\overline y_i=\sum\limits_{i=1}^? \overline{(A^*y_i)}=(x,A^*y)
получается что-то вроде этого,только я думаю нет я уверен что это бред,там где знаки ? там я не знаю что будет то ли n то ли n+1 я не знаю...

[Henrylee]

Walt Disney писал(а):

$$(Ax,y)=\sum\limits_{i=1}^\infty (Ax)_i\overline y_i=$$

$$ (x_1+x_2)\overline{y_1}+\sum\limits_{i=2}^\infty x_i\overline y_i $$

[RIP]

Walt Disney писал(а):

где у меня не правильно написано?

У Вас написано $A\colon l_1\to l_2$.

Walt Disney писал(а):

чему же всё таки будет равняться $(Ax)_i$?

Используйте то, что $Ax=((Ax)_1,(Ax)_2,(Ax)_3,\ldots)$.

Здесь удобно не пользоваться значком $\sum$, а просто писать $(Ax)_1\overline y_1+(Ax)_2\overline y_2+(Ax)_3\overline y_3+\ldots=\ldots=x_1\cdot?+x_2\cdot?+\ldots$. Возможно так будет проще.

[Walt Disney]

Henrylee,RIP спасибо за подсказки и объяснения.

[AD]

Walt Disney,
тег math не обязателен, а доллары вокруг формул обязательны

[ewert]

Walt Disney в сообщении #92210 писал(а):

Необходимо найти сопряжённый оператор A^* к оператору A\colon l_2\to l_2 действующий по следующей формуле:Ax=(x_1+x_2,x_2,x_3,...),\quad x=(x_1,x_2,...)\in l_2 и так же доказать будет ли A самосопряжённым?

Для Вашего оператора приводящими будут взаимно ортогональные подпространства $\{(x_1,x_2,0,0,0,\ldots)\}$ и $\{(0,0,x_3,x_4,x_5,\ldots)\}$. На втором он действует как единичный и, естественно, эта его часть самосопряжена. А первое подпространство -- всего лишь двумерно, просто напишите для него матрицу этого оператора (в каноническом базисе) и полюбуйтесь на неё.

[Padawan]

(Оффтоп)

ой кто-то "некрофилией" занимается...

[AD]

Padawan в сообщении #297191 писал(а):

(Оффтоп)

ой кто-то "некрофилией" занимается...

Оооооооой! Как это мне удалось?