Цилиндры

[KPEHgEJIb]

Задача: Найдите сколько процентов занимает объём трёх маленьких цилиндров от объёма большого. Радиус большого цилиндра обозначте как R. Все цилиндры имеют одинаковую высоту.



Соеденил центры маленьких окружностей и точки касания с большой окружностью в треугольники KLM и ABC соответственно. Разными способами пытался решить, но всё время не получается из-за этого пространства между маленькими окружностями. Никак не могу выразить радиус маленькой окружности через радиус большой. Может тут вовсе эти треугольники не нужны?

[Бодигрим]

Через радиусы маленьких окружностей выразите АК, KL и LB. Затем из трапеции AKLB, зная ее углы, найдите АВ. Ну а связь стороны вписанного правильного треугольника с радиусом большой окружности очевидна.

[KPEHgEJIb]

Бодигрим, выразил радиус большой через радиус маленькой окружности и получил $\frac {2r}{\sqrt3} + r = R$

Посчитал через пропорцию, и получилось, что объём 3х маленьких цилиндров занимает 128% объёма большого цилиндра. А такого быть не может. Я неправильно выразил, или при подсчёте ошибся?

[Dan B-Yallay]

Цитата:

получил $\frac {2r}{\sqrt3} + r = R$

Неверно. Может имелось в виду $r \frac {\sqrt3}{2} + r = R $ ?
$cos30 = \frac {\sqrt3}{2}$

[Henrylee]

Dan B-Yallay писал(а):

Неверно. Может имелось в виду $r \frac {\sqrt3}{2} + r = R $ ?

Разве так может быть? Очевидно, $R>2r$, а тут $r \frac {\sqrt3}{2} + r<2r$

Добавлено спустя 24 минуты 22 секунды:

KPEHgEJIb писал(а):

выразил радиус большой через радиус маленькой окружности и получил $\frac {2r}{\sqrt3} + r = R$

Верно. Но у меня получилось около $65\%$

[Brukvalub]

\[ KL = 2r = 2KO\cos \frac{\pi }{6} \Rightarrow KO = \frac{r}{{\cos \frac{\pi }{6}}}\;\;,\;KO + AK = R \]

[Dan B-Yallay]

Цитата:

Разве так может быть? Очевидно, $R>2r$, а тут $r \frac {\sqrt3}{2} + r<2r$

Да вы правы. Я неправильно посчитал.

[KPEHgEJIb]

Brukvalub, Ваше решение намного короче и красивее моего, но я не могу понять один момент: $2KO\cos \frac{\pi}{6}$. Это через теорему косинусов? Как вы так без дополнительных вычислений получили это значение?

Henrylee, судя по всему ответ $65\%$ правильный. Но у меня всё-равно получается $128\%$:S

$V = \pi h (\frac{2r}{\sqrt3}+r)^2$ - объём большого цилиндров.
$V = 3 \pi h r^2$ - объём трёх маленьких цилиндров.
$x\% = \frac{3 \pi h r^2 300}{\pi h 7 r^2}$ - что в итоге даёт $128\%$. В упор не вижу свою ошибку.

[Brukvalub]

KPEHgEJIb писал(а):

Brukvalub, Ваше решение намного короче и красивее моего, но я не могу понять один момент: $2KO\cos \frac{\pi}{6}$. Это через теорему косинусов? Как вы так без дополнительных вычислений получили это значение?

Мысленно провел в равнобедренном треугольнике KOL высоту и "решил" прямоугольный треугольник.

[KPEHgEJIb]

Brukvalub, понял, спасибо большое.

[Henrylee]

KPEHgEJIb писал(а):

$V = \pi h (\frac{2r}{\sqrt3}+r)^2$ - объём большого цилиндров.
$V = 3 \pi h r^2$ - объём трёх маленьких цилиндров.
$x\% = \frac{3 \pi h r^2 300}{\pi h 7 r^2}$ - что в итоге даёт $128\%$. В упор не вижу свою ошибку.

Ошибка вот в чем : $(2+\sqrt{3})^2\not=7$

[KPEHgEJIb]

Henrylee, точно! Спасибо, что помогли разобраться

// 16.02.10 перенесено из «Помогите решить / разобраться (М)» в «Чулан». / GAA