Аксиоматика элементарной геометрии

[gefest_md]

Как доказать, что через точку проходит прямая? Если в первой из аксиом связи точки $A$ и $B$ не обязательно различны, тогда существование той прямой следует из неё. Но мне не понятно различны они или нет. В школьных учебниках они точно различны, и первые две аксиомы выражаются одним предложением. Тогда откуда взять ещё одну точку хотя бы? Откуда берётся единичный отрезок, когда определяется длина (как я понял, это происходит независимо от любых применений). Вот в неевклидовой теории аксиома Лобачевского даёт и плоскость, и прямую, и точку.

[kp9r4d]

gefest_md
Можно узнать, какой системой аксиом вы пользуетесь?

[gefest_md]

kp9r4d, аксиомы Гильберта.

[gris]

Если взять школьный курс геометрии, то там может и не быть аксиомы о существовании хотя бы одной прямой или точки. Есть аксиома, которая иногда озвучивается так: "Для каждой прямой существует точка, ей не принадлежащая", а иногда так: "Существуют три точки, не принадлежащие одной прямой". Это и есть Гильбертовский вариант(?). Ну вот и всё. Существуют три точки. Три различные точки. Ваша точка может быть одной из них или четвёртой. В любом случае для вашей точки существует другая точка, а значит и прямая.
Мне помнится, что термин "аксиомы связи" есть в аксиоматике Александрова, а там прямо говорится о существовании отрезка, а значит и точек.

[gefest_md]

gris, Вы правы, второе это гильбертовский вариант - вторая часть третьей аксиомы связи:
3.1. На любой прямой лежат две различные точки.
3.2. Существуют по крайней мере три точки не лежащие на одной прямой.
Но первый вариант не даёт мне точку, не имея прямую:

gris в сообщении #1116122 писал(а):

"Для каждой прямой существует точка, ей не принадлежащая"

Сейчас интуитивно думаю, можно ли 3.2. заменить этим вариантом, если в первой аксиоме Гильберта точки $A$ и $B$ не считать обязательно различными? Но тогда надо как-то выразить существование одной точки, но уже не трёх.

[gris]

Мне кажется, что в аксиомах и теоремах "две точки" всегда означает "две различные точки". В задачах возможен вариант, когда два наименования относятся к одной точке. И тогда к ним нельзя применять аксиомы. Ну например, через "центр вписанной в треугольник окружности" и "точку пересечения его биссектрис" можно провести несколько <различных > прямых.

[arseniiv]

gefest_md
А зачем заменять 3.2? Вам тогда нужна будет аксиома о существовании прямой. Что лучше — аксиома существования прямой и аксиома существования точки или одна аксиома существования нескольких точек?

gefest_md в сообщении #1116130 писал(а):

если в первой аксиоме Гильберта точки $A$ и $B$ не считать обязательно различными?

Кажется, для этого есть вторая, говорящая о том, что через пару различных точек проходит одна/не более одной прямой, что в контексте первой эквивалентно. В первой просто говорится, что существует прямая, проходящая через две точки, и она была бы слабым вариантом второй, если бы точки предполагались неравными. Ergo, они там должны быть какие угодно. Правда, после установления существования $A\ne B\ne C\ne A$ и существования прямых, проходящих через $\{A,A\}, \{A,B\}, \{A,C\}, \{B,B\}, \{B,C\}, \{C,C\}$ мы аксиомами принадлежности не можем вывести существование более трёх различных прямых. А вот одна из аксиом порядка гарантирует, что между $A$ и $B$ на определяемой ими прямой лежит какая-нибудь $D$, и мы можем расподить прямые и точки дальше.

[gris]

Я понимаю основной вопрос темы так: Дана точка $A$. Из каких аксиом следует, что существует другая точка $B$?
Скажем, Адамар просто говорит: любую фигуру <в том числе и точку> можно переместить в пространстве бесчисленным множеством способов. То есть нашу точку перемещаем произвольно и получаем другую. Проводим через них прямую.
Гильберт говорит: существуют три точки, не принадлежащие прямой.
Погорелов ничего не говорит. Но там же семиклассники. Для них эти рассуждения сложны и никчемушны.

[gefest_md]

arseniiv в сообщении #1116151 писал(а):

А зачем заменять 3.2? Вам тогда нужна будет аксиома о существовании прямой.

Поэтому я и уточнил, чтобы в первой аксиоме не ставить условие различия точек. Получаются такие начальные аксиомы:
0. Существует точка.
1. Для любых точек $A$ и $B$ существует прямая $a$ такая, что $A$ и $B$ принадлежат $a$.
2. Для любых различных точек $A$ и $B$ и любых прямых $a$ и $b$, если прямые проходят через данные точки, то они, прямые, совпадают.
3.1. Любой прямой принадлежат две различные точки.
3.2''. Для каждой прямой существует точка, ей не принадлежащая.

Теперь надо доказать, что существуют три точки не лежащие на одной прямой (3.2.). Пусть имеется точка $A$ (0). Через неё проходит прямая $a$ (1.) На ней лежит ещё одна точка $B$ (3.1.) И наконец третья точка $C$, которая не принадлежит $a$ (3.2''.)

-- Вс апр 17, 2016 22:58:46 --

(Оффтоп)

gris в сообщении #1116160 писал(а):

Я понимаю основной вопрос темы так: Дана точка $A$. Из каких аксиом следует, что существует другая точка $B$?

gris в сообщении #1116160 писал(а):

Гильберт говорит: существуют три точки, не принадлежащие прямой.

Не звучит красиво. Нужна только $B$.

[gefest_md]

gefest_md в сообщении #1116181 писал(а):

0. Существует точка.

Мне кажется с этой аксиомой проблем нет. Гильберт тоже, не прямо, говорит что множество точек не пусто. Он это делает с помощью своей аксиомы о трёх точках, не лежащих на одной прямой. Потому что если множество точек было бы пустым, то аксиомы типа всеобщности оказались бы истинными без моего желания.

[arseniiv]

У этой вашей аксиомы есть, кстати, плюс: она верна и в одномерной евклидовой прямой, и в нульмерной — хорошо масштабируется! Аксиома о существовании трёх неколлинеарных точек-то уже на прямой пасует.

[gefest_md]

arseniiv в сообщении #1116201 писал(а):

Аксиома о существовании трёх неколлинеарных точек-то уже на прямой пасует.

То есть, получится построить геометрию прямой, только за большее число шагов?

[arseniiv]

С аксиомой 0? Можно, конечно, но не знаю, по сравнению с чем имелось в виду большее число шагов. Надо будет выкинуть аксиомы, не верные на прямой и, может быть, добавить что-то для полноты. Кажется, ничего.

[gefest_md]

С гильбертовской, за два шага (убрать её и добавить 0-ю). С аксиомой 0 один шаг (только убрать 3.2".)
Ещё один любопытный момент упустил из виду вчера по поводу аксиомы о трёх неколлинеарных точках в аксиоматике Гильберта. Вроде как она в геометрии Лобачевского зависима, потому что аксиома Лобачевского даёт прямую и точку на ней не лежащую. А по другой аксиоме на этой прямой лежат ещё две точки. Значит в основу неевклидовой теории параллельных надо ставить все аксиомы евклидовой геометрии, кроме двух?

[gefest_md]

Аксиомы из Ефимова

Цитата:

I.1. Каковы бы ни были две точки $A$ и $B$, существует прямая $a$, проходящая через каждую из точек $A$ и $B$.
I.2. Каковы бы ни были две различные точки $A$ и $B$, существует не более одной прямой, которая проходит через каждую из точек $A$, $B$.
I.3. ... Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

"различные" есть в I.2., но нет в I.1. Поэтому задача о том, что через точку проходит прямая решается двумя способами:
1. это следует сразу из аксиомы I.1. ($A=B$), или
2. из аксиом I.3. и I.1.
Означает ли что-то данная ситуация вообще (когда два способа)? Или когда как?