Расходящийся функ.ряд и арифметическое среднее его част.сумм

[PsixROs]

Здравствуйте! Помогите решить еще одну задачку))
Дан расходящийся на А функциональный ряд. Исследовать на сходимость последовательность арифметических средних его частичных сумм. $b_i = \frac {S_1 + S_2 + ... + S_i} {i}$, где {$S_n$} - последовательность частичных сумм ряда (т.е. какие условия надо наложить на ряд, чтобы {$b_n$} сходилась/расходилась)

[Brukvalub]

Ну, тут Вы, пожалуй, хватили Такого рода вопросам посвящена немалая часть целой книги: http://lib.mexmat.ru/books/107 , да и в
тригонометрических рядах эту тему жалуют (простейший вариант - суммирование по Фейеру). Так что, впору, не новую тему, а новый форум открывать...

[Lion]

Возможно, стоит применить следствие из теоремы Банаха--Штейнхауза, т.е. решить задачу для множества последовательностей, линейная оболочка которой плотна в пространстве всех последовательностей...

[PsixROs]

Ну а если просто дать несколько примеров рядов, при которых {b_n} сходится/расходится? Я вот придумал два знакоперенных ряда: 1-1+1-1... ({b_n} сходится) и 1-2+3-4+5...({b_n} расходится), и теорему Фейера для рядов Фурье дополню к ответу. Я понимаю, что вопрос о методе средних арифметических очень широк, но я перерыл кучу книг, и нигде не говорится насчет поведения {b_n} для расходящегося функционального ряда, вдруг есть какие-то закономерности.
З.Ы. Это задача мне была дана на матане, а не на функане, то есть прошу не ссылаться на книгу Харди или Колмогорова/Фомина, потому что у меня пока для этих книг слишком маленькая база. Заранее спасибо.

[нг]

Посмотрите «сходимость по Чезаро»