Задача из учебника ЛЛ (механика)

[iGr]

Помогите разобраться в задаче:
Частица с массой $m$, движущаяся со скоростью $v_1$, переходит из полупространства, в котором ее потенциальная энергия постоянна и равна $U_1$, в полупространство, где эта энергия тоже постоянна, но равна $U_2$. Определить изменение направления движения частицы.

Решение в учебнике:
Потенциальная энергия не зависит от координат вдоль осей, параллельных плоскости раздела между полупространствами. Поэтому сохраняется проекция импульса частицы на эту плоскость.

Тут не ясно, ведь потенциальная энергия разная в этих полупространствах, почему проекция импульса должна сохраниться?
Правильно ли я понимаю картинку? https://www.dropbox.com/s/5rez40eguargm44/U1U2.jpg?dl=0

обозначая через $\Theta_1$ и $\Theta_2$ углы между нормалью к плоскости раздела и скоростями $v_1$ и $v_2$ частицы до и после перехода, получим: $v_1sin\Theta_1 = v_2sin\Theta_2$

Исходя из моей картинки, мне не понятно, почему это равенство должно быть верным.

[Munin]

iGr в сообщении #1115478 писал(а):

Тут не ясно, ведь потенциальная энергия разная в этих полупространствах, почему проекция импульса должна сохраниться?

Потому что энергия и импульс - вещи разные.

Сохраняется ли импульс (конкретная проекция) - определяется тем, существует ли соответствующая симметрия. О чём и был параграф перед задачей.

iGr в сообщении #1115478 писал(а):

Правильно ли я понимаю картинку? https://www.dropbox.com/s/5rez40eguargm44/U1U2.jpg?dl=0

Да, правильно.

iGr в сообщении #1115478 писал(а):

Исходя из моей картинки, мне не понятно, почему это равенство должно быть верным.

А исходя из указанного сохранения проекции импульса?

Тету можно (и предпочтительно) писать строчную: \theta $\theta.$
Впрочем, если хотите выпендриться, можно и вот такую: \vartheta $\vartheta.$

[iGr]

Очередное Вам большое спасибо!

[Dragon27]

При переходе через подобный "бесконечно быстрый" потенциальный барьер (мгновенный скачок потенциальной энергии) тело просто получает импульс вдоль нормали к этому барьеру, аналогично тому, как на тело действует сила (увеличивающая импульс) по градиенту потенциальной энергии.

[iGr]

Почему именно вдоль нормали к барьеру?

[arseniiv]

Строгость тут можно придать обобщённым дифференцированием. Должно получиться $\operatorname{grad}U = (U_2-U_1)\delta(\mathbf r\cdot\mathbf n)\mathbf n$ при подходящем направлении нормали.

[Cos(x-pi/2)]

iGr в сообщении #1115511 писал(а):

Почему именно вдоль нормали к барьеру?

Так ведь выше всё уже объяснено. Вспомните, например, задачку про полёт камня (без учёта сопротивления воздуха): у камня, брошенного под углом к поверхности земли, вертикальная составляющая скорости изменяется и потенциальная энергия изменяется, а горизонтальная составляющая скорости не изменяется. Почему?

Потому что изменение скорости $d \vec{v}$ определяется ускорением

$$\frac{d \vec{v}}{dt}=\frac{1}{m} \vec{F}$$

которое всегда направлено вдоль вектора силы $\vec{F}$. А вектор силы

$$\vec{F}=-\nabla U$$

направлен по нормали к эквипотенциальным поверхностям. Другими словами: составляющая силы вдоль поверхностей постоянной потенциальной энергии $U= \operatorname{const}$ равна нулю, поэтому и составляющая скорости вдоль поверхностей $U= \operatorname{const}$ не меняется.

[iGr]

Все, понял. Всем большое спасибо!