Количество вершин после отождествления сторон в 2n-угольнике

[Hasek]

Как можно строго доказать, что при отождествлении в $2n$-угольнике противоположных сторон с сохранением ориентации останется одна вершина, если $2n$ делится на $4$, и две вершины, если не делится? Я хорошо вижу это на примерах при небольших $n$, но формализовать доказательство не получается.

[gris]

По индукции с шагом в две стороны?
Ой, я имел в виду две пары сторон.

[Hasek]

gris в сообщении #1115118 писал(а):

По индукции с шагом в две стороны?

Да. Только вот с формализацией у меня не очень. Когда доказываем что-то по индукции, то надо доказать базис индукции и показать, что если что-то выполняется для $N$-го шага, то из этого следует выполнение этого же на $(N+1)$-м.

Базис индукции проверяется просто -- рассмотрим квадрат, в нём всё понятно и остаётся одна вершина. Теперь, пусть у нас есть $2n$-угольник, после отождествления всех сторон в котором осталась одна вершина. Добавим к нему ещё две стороны. Отождествляя по-старому $2n$ сторон, получим одну вершину, лежащую на одной из новых двух добавленных сторон. При отождествлении этих двух сторон она перейдёт в противоположную вершину, но кроме неё остаются ещё две вершины, которые отождествляются в одну.

Это всё? Не слишком "на пальцах"?

[gris]

ну и рассмотреть ещё базис в виде шестиугольника с ещё одной веткой. То есть запустить две индукции с шагом 4 стороны. Можно звёздочки внутри порисовать. Если хочется формализации, то можно рассматривать соответствующие фактормножества отрезков натурального ряда, занумеровав вершины. Только придётся пояснить, что значит "сохранение ориентации". На пальцах просто, а с индукцией не надо даже и думать