Противная задача

[function]

Здравствуйте! Не получается решить противную задачу с параметром. В ней нужно найти все $a$, при которых неравенство

$$||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a| \leqslant 7x+24$$

выполняется для всех $x\in [0;\;7]$.
Вначале я пытался взять из этого отрезка такие $x_1$ и $x_2$, чтобы получились два неравенства наподобие: $a\leqslant C$ и $a\geqslant C$, откуда стало бы понятно, что $a=C$, после чего --- проверка, и всё хорошо, но нет, хотя я по-прежнему думаю, что каким-то образом нужно нащупать хорошие значения $x$ из отрезка.
Строить это всё рука не поднимается!
Видно, что слева стоят два выражения "модуль в модуле", поэтому хочется подобрать функцию, но мешают эти $-3a$ и $4a$.
Возведение в квадрат --- дохлый номер.
Вот так и сижу, весь в гневе, а ведь похожая задача может попасться на ЕГЭ!

[12d3]

Правая часть растет быстрее, чем левая, независимо от того, с каким знаками модули раскрываются, поэтому достаточно посмотреть, что будет в нуле.

[function]

12d3 в сообщении #1114993 писал(а):

Правая часть растет быстрее, чем левая, независимо от того, с каким знаками модули раскрываются, поэтому достаточно посмотреть, что будет в нуле.

Совершенно не очевидно.

[Brukvalub]

12d3 хочет сказать, что функция $f(x)=||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|-7x+24$ монотонно убывает (докажите это и воспользуйтесь монотонностью).

[function]

Brukvalub в сообщении #1114996 писал(а):

12d3 хочет сказать, что функция $f(x)=||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|-7x+24$ монотонно убывает (докажите это и воспользуйтесь монотонностью).

Вот это да, взял производную и получил: $f'(x)=\cfrac{\sqrt{(x+2a)^2}-3a}{|\sqrt{(x+2a)^2}-3a|}\cdot\cfrac{x+2a}{|x+2a|}}+similar-7\leqslant -5<0 $ --- действительно убывает, спасибо! А дальше всё тогда очевидно.

[12d3]

function в сообщении #1115000 писал(а):

действительно убывает, спасибо!

На самом деле $f'(x) \le -3$ (у второго слагаемого перед иксом коэффициент тройка), но все равно убывает.

[mihailm]

Подозреваю, что эту замечательную производную проверяющие ЕГЭ не оценят по достоинству))

[Brukvalub]

function в сообщении #1115000 писал(а):

Вот это да, взял производную и получил

При каждом раскрытии модулей будет получаться линейная функция.
Проще и естественнее оценить сверху угловой коэффициент всех таких функций отрицательным числом.

[function]

12d3 в сообщении #1115002 писал(а):

function в сообщении #1115000 писал(а):

действительно убывает, спасибо!

На самом деле $f'(x) \le -3$ (у второго слагаемого перед иксом коэффициент тройка), но все равно убывает.

Да, действительно, поспешил.

Brukvalub в сообщении #1115006 писал(а):

function в сообщении #1115000 писал(а):

Вот это да, взял производную и получил

При каждом раскрытии модулей будет получаться линейная функция.
Проще и естественнее оценить сверху угловой коэффициент всех таких функций отрицательным числом.

Что в голову первое пришло, то и проще, и естественней)

[Brukvalub]

function в сообщении #1115031 писал(а):

Что в голову первое пришло, то и проще, и естественней)

Так первой-то в голову дурь пришла. Модуль не везде имеет производную.