Как определить аналитически эволюцию пробного решения

[fsh2013]

Численным моделированием (использованием разностных схем) получены модели эволюции двумерного солитонного (пробного) решения ур. sin-Гордон. График изменения энергии, к примеру, имеет вид:
.

Но теперь нужно еще сравнить эти численные результаты с аналитическими, например, как здесь:

где пунктирная линия означает результат аналитического расчета (в этом графике изменения центр-солитона, привел для примера, из работ других авторов).

Хотел спросить - каким путем аналитически вычислять изменение или эволюцию пробного решения? или где прочитать.
Спасибо.

[Munin]

Под "решением" ДУЧП понимается решение вместе с эволюцией. Поэтому, откуда вы взяли решение - там должно быть написано.

[fsh2013]

У Вас ёмкий ответ, пока еще не уяснил как это поможет.
Просто скажу, что вывел аналитический вид пробного решения, её численные модели устойчивые для достаточно большого времени моделирования.
(Во многих англ. работах по схожей теме, авторы в иллюстрациях приводят сравнения числ. и аналит. исследований пробных решений, которых находят сами).
Для получения значений найденной пробной функции аналит. методом я ведь не имею права просто менять значения времени $t$ в ней (или так можно?).
Мне подсказали искать эти методы (определение изменения значений пробной функции во времени аналит. методом) в работах Кившаря, но пока не нашел.

[Munin]

fsh2013 в сообщении #1114718 писал(а):

Просто скажу, что вывел аналитический вид пробного решения

Вместе с эволюцией?

fsh2013 в сообщении #1114718 писал(а):

Для получения значений найденной пробной функции аналит. методом я ведь не имею права просто менять значения времени t в ней (или так можно?).

Какая у вас формула? Может быть, и можно.

[fsh2013]

Munin в сообщении #1114727 писал(а):

Вместе с эволюцией?

В общем, решение имеет форму
$u(x,y,\lambda, \varphi, t)=-4\arctg[a(\lambda)\sin(\varphi)sech(\lambda x)sech(\lambda y)]$,
где
$a(t)=\frac{\lambda}{\sqrt{1-\lambda^2}}$,
$\lambda(t)=\th(\sqrt{1+t\sqrt{2}})$,
$\varphi(t)=\frac{\sqrt{1-\lambda^2}+\arcsin(\lambda)}{\lambda\sqrt{2}}$.

Munin в сообщении #1114727 писал(а):

Может быть, и можно.

Если можно: как мы узнаем, что это решение эволюционирует именно в рамках модели sin-Гордон?, например, теоретически оно же может быть решением и какой-нибудь другой модели (или я запутался).

[Munin]

fsh2013 в сообщении #1114875 писал(а):

В общем, решение имеет форму
$u(x,y,\lambda, \varphi, t)=-4\arctg[a(\lambda)\sin(\varphi)\operatorname{sech}(\lambda x)\operatorname{sech}(\lambda y)]$,
где
$a(t)=\frac{\lambda}{\sqrt{1-\lambda^2}}$,
$\lambda(t)=\th(\sqrt{1+t\sqrt{2}})$,
$\varphi(t)=\frac{\sqrt{1-\lambda^2}+\arcsin(\lambda)}{\lambda\sqrt{2}}$.

Тогда да, просто подставляйте разное время в это решение.

fsh2013 в сообщении #1114875 писал(а):

Если можно: как мы узнаем, что это решение эволюционирует именно в рамках модели sin-Гордон?, например, теоретически оно же может быть решением и какой-нибудь другой модели (или я запутался).

Ну вообще. Берёте это решение, и подставляете в формулу sin-Гордон. Если у вас уравнение сведётся к тождеству $0=0,$ то - удовлетворяет. Точно так же, как вы проверяете корни квадратного уравнения, подставляя в него.

[fsh2013]

Спасибо.

[Munin]

У меня такое впечатление, что вам дали задание, в котором вы не понимаете вообще ничего. Попытайтесь хотя бы пробежаться по диагонали (по Википедии, что ли) по таким темам, как:
- дифференциальные уравнения;
- дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП);
- уравнения математической физики;
- нелинейные ДУЧП;
- уравнение sin-Гордона как пример нелинейного ДУЧП.
По-хорошему, каждый пункт здесь заслуживает прочтения целого учебника, и я бы дал вам даже примерную литературу, но у вас, скорее всего, пока нет на это времени.

[fsh2013]

Кажется, я по другому должен был ставить вопрос. Но так как сам не понимаю ясно, видимо с формулировкой ошибся. Что правда то правда - не понимаю, поэтому спрашиваю. Я бы еще уточнения сделал, но сперва попробую самостоятельно разобраться. В любом случае спасибо.

[Munin]

Когда станет яснее, что же вам нужно, приходите ещё.