Доказать неравенство

[Roman Kotyk]

Доказать неравенство:

$$\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{\ln{k}}{k}\right)^2=\sum_{k=2}^{n}\left(\dfrac{\ln{k}}{k}\right)^2<2$$

[gris]

Удалось доказать равенство
А не равна ли сумма бесконечного ряда двойке? Вот было бы хорошо.

[grizzly]

gris в сообщении #1114630 писал(а):

А не равна ли сумма бесконечного ряда двойке? Вот было бы хорошо.

Нет, не равна. Зато соответствующий определённый интеграл, которым можно ограничить сверху, равен. Что тоже хорошо :)

UPD (после решения ниже). Да, он интеграл так просто не ограничивает.

[Sergic Primazon]

Roman Kotyk в сообщении #1114624 писал(а):

Доказать неравенство:

$$\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{\ln{k}}{k}\right)^2=\sum_{k=2}^{n}\left(\dfrac{\ln{k}}{k}\right)^2<2$$

$f (x)=\left (\frac{\ln (x)}{x} \right )^2$-вогнутая и убывает при $x>5$

Поэтому:

$$\sum\limits_{m=6}^{\infty}f (m)< \int\limits_{5}^{\infty}f (x)dx+\frac{1}{2}\sum\limits_{m=6}^{\infty}f^{'}(m)<\int\limits_{5}^{\infty}f (x)dx-\frac{1}{2}f (6)$$

$$\sum\limits_{m=2}^{\infty}f (m)<f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+\int\limits_{5}^{\infty}f (x) dx-\frac{1}{2}f (6)<2$$