Две электрические схемы

[StaticZero]

Схема 1.

(Оффтоп)

Рассмотрим схему на рис. 1. Пусть контур обходится по направлению от $A$ к $B$ и токи расставлены так, как на рисунке. Задача состоит в нахождении всех токов.

Получаем из законов Кирхгофа для контура и точки $A$

$$ \begin{cases} i R_1 - j R_2 = \mathcal E_1 - \mathcal E_2, \\ i + j = 0. \end{cases} $$

Отсюда находится $j = -i$ и $i = \dfrac{\mathcal E_1 - \mathcal E_2}{R_1 + R_2}$. Верно ли такое рассуждение?

Схема 2.

(Оффтоп)

Рассмотрим схему на рис. 2. Задача — определить ток через гальванометр.
Нижний контур обходим по положительному направлению $U$:

$$ IR + i_2 r_2 + i_3 r_1 = U. $$

Для точек $A$ и $B$ имеем соответственно

$$ I = i_1 + i_2, $$

$$ i_2 = i_3. $$

(здесь вопрос: может ли быть так, что из источника $U$ вышел ток $I$, а придёт ток $i_2 \leqslant I$?)
Второй контур обходим против направления тока $i_1$:

$$ (J - i_1) r_g + i_2 r_2 = \mathcal E. $$

Наконец, для точки $C$ имеем

$$ J + i_1 = 0. $$

Итого

$$ \begin{cases} IR + i_2 r_2 + i_3 r_1 = U, \\ I = i_1 + i_2, \\ i_2 = i_3, \\ J + i_1 = 0, \\ (J - i_1) r_g + i_2 r_2 = \mathcal E, \end{cases} $$

что преобразуется в систему

$$ \begin{cases} i_2 (R + r_2 + r_1) = U - i_1 R, \\ i_2 r_2 = \mathcal E + 2 i_1 r_g \end{cases} $$

и так далее. Верно ли составлены уравнения?

Буду благодарен за ответы.

[AnatolyBa]

В первой задаче, в принципе, правильное решение, хотя не делают таких штук, как вы сделали, не обозначают один ток в разных участках разными буквами, тем более не направляют его навстречу себе же.
Во второй задаче напутали. Первая ошибка $i_2=i_3$, есть и дальше ошибки. Обратите, например, внимание, что у вас потерялось и нигде не используется $r_0$

[Dmitriy40]

А почему бы не объединить последовательно включенные в одной цепи резисторы в один суммарного сопротивления? Будет проще и понятнее.

[StaticZero]

StaticZero в сообщении #1114501 писал(а):

здесь вопрос: может ли быть так, что из источника $U$ вышел ток $I$, а придёт ток $i_2 \leqslant I$?)

То есть, как я понял, такого быть не может?

Dmitriy40 в сообщении #1114613 писал(а):

А почему бы не объединить последовательно включенные в одной цепи резисторы в один суммарного сопротивления? Будет проще и понятнее.

Электрическая схема — принципиальная, поэтому там всё так и стоит, "как есть на самом деле". Да и ведь некоторые резисторы через ЭДС подключены ($r_g$ и $r_0$, например, можно ли их объединять?), некоторые разделены узлом.

AnatolyBa в сообщении #1114604 писал(а):

Во второй задаче напутали. Первая ошибка $i_2=i_3$, есть и дальше ошибки. Обратите, например, внимание, что у вас потерялось и нигде не используется $r_0$

Спасибо за ответ. Вот вторая попытка решения задачи.

(Картинка)

Аналогично идём по контурам. В контуре с гальванометром — по направлению $i_1$, в другом — по направлению ЭДС.

$$ \begin{cases} IR + i_2 r_2 + I r_3 = U, \\ i_1 r_g + i_1 r_0 - i_2 r_2 = - \mathcal E, \\ I = i_1 + i_2. \end{cases} $$

---
Судя по уравнениям, $r_g$ и $r_0$ действительно можно объединить в одно сопротивление.

[Dmitriy40]

(Упрощение резисторов)

StaticZero в сообщении #1114657 писал(а):

Судя по уравнениям, $r_g$ и $r_0$ действительно можно объединить в одно сопротивление.

Ага, как и $R$ и $r_3$. На решение не влияет, зато формулы чуть проще.

[AnatolyBa]

Это вроде правильно. Не заметил ошибок

[StaticZero]

Благодарю вас.

[Walker_XXI]

StaticZero в сообщении #1114657 писал(а):

может ли быть так, что из источника $U$ вышел ток $I$, а придёт ток $i_2 \leqslant I$?

В принципе может. Только это означает, что где-то в схеме идёт накопление заряда. В схемах без конденсаторов обычно накопление заряда не происходит. Поэтому в Ваших схемах этого быть не может.

StaticZero в сообщении #1114657 писал(а):

Судя по уравнениям, $r_g$ и $r_0$ действительно можно объединить в одно сопротивление.

Да. Судя по всему, $r_g$ и $r_0$ - это внутренние сопротивления гальванометра и источника эдс. Тогда на схеме их можно было разместить с любой стороны от изображений самих устройств, т.е. перекинуть к точке $C$. А тогда возможность их объединения очевидна и без всяких уравнений. Хотя, если учитывать физический смысл этих сопротивлений, то в общем случае лучше не объединять - значительного усложнения задачи не будет, зато будет ясность с подстановкой числовых данных.

[StaticZero]

Решил системку, получил любопытную формулу:

$$ i_1 = I_G = \cfrac{\cfrac{r_2}{r_3 + R} \Big(U - \mathcal E\Big) - \mathcal E}{(r_g + r_0) r_2} \times \cfrac{1}{\cfrac{1}{r_0 + r_g} + \cfrac{1}{r_2} + \cfrac{1}{r_3 + R}}. $$

Выходит, что второй множитель представляет собой сопротивление подключённых параллельно соответствующих сопротивлений.