Уравнение 6-ой степени

[scwec]

Докажите, что уравнение $x^3(y^3+N)=xy+N$ при любом рациональном $N$ имеет нетривиальные рациональные решения $(x,y)$. На самом деле нетривиальных решений бесконечно много. Но достаточно найти хотя бы одно для каждого $N$
Тривиальные решения, это $x=1,y=\pm{1},{0}$.

[Shadow]

Да, благодаря вашей подсказки: $xy=z$, уравнение $z^3+Nx^3=z+N$
Касательные в точках $(1;0),(1;1),(1;-1)$ дают решения:

$x=\dfrac{27N^2-2}{27N^2+1},\;z=-\dfrac{9N}{27N^2+1}$

$x=\dfrac{27N^2\pm 54N+16}{27N^2-8},\;z=\dfrac{54N^2\pm 36N+8}{27N^2-8}$

-- 16.04.2016, 20:56 --

С $\pm$ ошибся, акуратнее

$x=\dfrac{27N^2+ 54N+16}{27N^2-8},\;z=-\dfrac{54N^2+36N+8}{27N^2-8}$

$x=\dfrac{27N^2- 54N+16}{27N^2-8},\;z=\dfrac{54N^2- 36N+8}{27N^2-8}$

[scwec]

Всё верно.
Уравнение $x^2(y^3+N)-(xy+N)=0$
Параметрические рациональные решения все равно есть.
Найдите их.

[Shadow]

$x=\dfrac{8N^2}{1\pm 8N^2}\quad y=-\dfrac{1}{4N}$

$x=\dfrac{(2N+1)^3}{8N^3-12N^2-2N-1}\quad y=-\dfrac{8N^2}{(2N+1)^2}$

$x=\dfrac{(2N-1)^3}{8N^3+12N^2-2N+1}\quad y=\dfrac{8N^2}{(2N-1)^2}$

[sergei1961]

Посоветуйте-где почитать про переход от касательных к общим рациональным параметризациям.

[scwec]

Все решения Shadow верные.
Приведу еще одно ранее припасенное решение.
$x=\dfrac{1}{512N^4-32N^2+1}, y=64N^3$.
Что касается вопроса sergei1961, то приведенные здесь решения не являются параметрическими для фиксированного $N$.
При фиксированном $N$ можно выписать сколь угодно много решений (если исходная точка бесконечного порядка) и алгоритм этот хорошо известен.
Однако в параметрическом виде записать это затруднительно.
Прочитать об этом можно в руководствах по эллиптическим кривым.
Острик - Цфасман, Коблиц, Кнэпп и т.п.