Квадратное уравнение с параметром

[stedent076]

При каких значениях параметра $a$ корни уравнения
$x^2+(a+2)x+3a+1=0$
удовлетворяют условию $(x_1)^3+(x_2)^3<5a-2$ ?
Мои содержательные попытки решения:
$(x_1)^3+(x_2)^3=(x_1+x_2)\cdot((x_1)^2+x_1\cdot x_2+(x_2)^2)$
по теореме Виета:
$x_1+x_2=-(a+2) , x_1\cdot x_2=3a+1$ и $(x_1)^2+(x_2)^2=(x_1+x_2)^2-2x_1\cdot x_2;$
$(x_1)^3+(x_2)^3=-(a+2)\cdot ((-(a+2))^2-3(3a+1));$
$-(a+2)\cdot ((-(a+2))^2-3(3a+1))<5a-2;$
$-(a+2)\cdot(a^2-5a+1)<5a-2;$
$-(a^3-5a^2+a+2a^2-10a+2)<5a-2;$
$-a^3+3a^2+4a<0$ отсюда $a\in (-\infty;0)$
Но в задачнике другой ответ. Где у меня ошибка, подскажите пожалуйста.Заранее благодарен за помощь.

[svv]

stedent076 в сообщении #1114073 писал(а):

$(x_1)^3+(x_2)^3=(x_1+x_2)\cdot((x_1)^2+x_1\cdot x_2+(x_2)^2)$

Нет, сразу видно, что это неверно. При раскрытии скобок в правой части членам вроде $x_1^2 x_2$ не с чем сократиться, так как знаки только «плюс», поэтому левая часть не получится.
А какой ответ в задачнике?

[stedent076]

svv
a$\in(-1;0)\cup[8;+\infty)$

[svv]

Надо взять какое-то значение $a$, при котором квадратное уравнение легко решается, и относительно которого Ваши с авторами мнения расходятся (Вы утверждаете, например, что удовлетворяет, а авторы — что нет). И, подставив его, проверить по шагам, справедливы ли неравенства. Где вдруг... — там и ошибка.

[stedent076]

svv
Ошибка у меня. Скажите, а нельзя ли ответить на вопрос задачи другим способом, более быстрым?

[svv]

Использование формул Виета — хорошая идея, только знак надо исправить.
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)$

Учтите ещё, что даже если $-a^3+3a^2+4a=-a(a-4)(a+1)<0$, исходное квадратное уравнение может не иметь решений. Множество таких значений $a$ в ответ не входит.