неравенство

[TR63]

Для положительных (x;y) доказать неравенство:
$\frac{x^xy^y}{(\frac{x+y}{2})^{x+y}}\le e^{(\sqrt x-\sqrt y)^2}$

В силу наличия гомогенизации это неравенство достаточно доказать для $x+y=2$.

$x^xy^y\le e^{2(1-\sqrt{xy})}$

$x\ln x+y\ln y\le2(1-\sqrt{xy})$

Далее можно свести к неравенству от одной переменной. (Далее пока идей нет.)

[sergei1961]

Почему не там, где было предложено это неравенство?

[TR63]

Потому, что решение неполное. Далее решала с помощью вольфрама (взятие двух производных; обе отрицательны; всё сходится). Надеюсь, что никаких правил не нарушила.