2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Абелевы группы и перестановки
Сообщение27.03.2011, 20:58 
Заслуженный участник


09/02/06
4365
Москва
Вы правильно поняли. У меня не было уверенности в однозначном разрешении последнего уравнения
$-x\%2+\pi (b(x))=y\%2$.
Похоже надо брать не перестановку или перестановку, но вместо $x$ в этих соотношениях взять $x+i$, где $i$ - некоторый фиксированный идемпотент. Потому что, иначе $t(x)=t(x+I)$, где $I=(2^{k_1-1},2^{k_2-1},...,2^{k_m-1}$ - идемпотент не меняющийся при циклических перестановках.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2011, 21:39 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Руст в сообщении #428162 писал(а):
...идемпотент не меняющийся при циклических перестановках.

Там скорее не циклические перестановки надо брать, а взять что-нибудь вроде $\tau$ --- автоморфизм $I$, для которого $\sigma(x) = x + \tau(x)$ --- тоже автоморфизм. И на его основе пытаться $\pi$ сооружать...

Я с этой задачей уже давно мучаюсь, столько бессонных ночей ей отдал, столько всего перепробовал. Может, переформулируем её, пока не поздно, в следующем виде: для групп вида $\mathbb{Z}_{2^n} \oplus \mathbb{Z}_{2^m}$ и $\mathbb{Z}_{2^n} \oplus \mathbb{Z}_{2^m} \oplus \mathbb{Z}_{2^k}$ при $n,m,k > 0$ найти перестановки $s$ и $t$ со свойством $s(x) + t(x) = x$.

Ясно, что это эквивалентная формулировка. А симметричность условия на $s$ и $t$ позволяет теперь городить разные новые отображения типа $s'(x) = s(s(x))$, $t'(x) = t(s(x)) + t(x)$, или, скажем, $s''(x) = s^{-1}(x)$, $t''(x) = -t(s^{-1}(x))$, ну и другие похожие алгебраические трюки. Не факт, конечно, что всё время будут получаться перестановки, но, может, что-нибудь на этом пути удастся нарыть?

-- Пн мар 28, 2011 00:44:08 --

P. S. Кстати, для всех рассматриваемых перестановок можно считать, что их значение в нуле всегда равно нулю. Можно также их сопрягать автоморфизмами и снова получать перестановки с нужными свойствами... Короче, если есть хотя бы одна перестановка, то их сразу же оказывается очень-очень много...

 Профиль  
                  
 
 Re: Абелевы группы и перестановки
Сообщение27.03.2011, 22:01 
Заслуженный участник


09/02/06
4365
Москва
Если существует то их много потому, что для любой перестановки $f$ перестановкой является и $f(s(f^{-1}(x)))$. Однако, чтобы удовлетворять вашему условию относительно $t$ надо брать $f$ не произвольную перестановку, годится произвольный автоморфизм.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.03.2011, 22:07 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Вот, кстати, тоже ещё пара наблюдений. Пусть $s$ и $t$ --- перестановки $A$, для которых $s(x) + t(x) = x$.

1) Если $X \subseteq A$ таково, что $s(X) = X$ (например, $X$ --- орбита перестановки $s$), то $\sum_{x \in X} t(x) = 0$. А если $s(X) = X = t(X)$, то $\sum_{x \in X} x = 0$.

2) Если $\varphi$ --- ненулевой гомоморфизм $A$ в $\mathbb{Z}_2$ и для $i,j \in \mathbb{Z}_2$ множество $A_{i,j} = \{ a \in A : \varphi(s(a)) = i, \, \varphi(t(a)) = j \}$, то $|A_{i,j}| = |A|/4$.

-- Пн мар 28, 2011 01:09:41 --

Руст в сообщении #428192 писал(а):
...надо брать $f$ не произвольную перестановку, годится произвольный автоморфизм.

Так я же и говорю автоморфизмами сопрягать :-) Перестановками, конечно, не получится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2011, 07:53 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Ещё короткое замечание... Раз решить задачу лихим кавалерийским наскоком не получается, приходится собирать всё, относящееся к нашему классу групп. Вдруг да найдётся случайно что-нибудь ценное...

Итак, существование перестановок нужно доказать для абелевой группы $A$, удовлетворяющей перечисленным ниже условиям (которые, очевидно, эквивалентны):

1) Если в $A$ существует элемент порядка $2$, то он не единственен.
2) Сумма всех элементов $A$ равна нулю.
3) Если $|A|$ чётно, то в $A$ существует две подгруппы чётного порядка с нулевым пересечением.
4) Перестановка $a \mapsto -a$ является чётной (раскладывается в произведение чётного числа транспозиций).
5) Для каждого $a \in A$ сдвиг $\sigma_a(x) = x + a$ является чётной перестановкой $A$.
6) Что-то ещё???...

-- Пн мар 28, 2011 11:02:00 --

Пункты 4 и 5 пробовал активно эксплуатировать, задавая представление $A$ через подалгебру алгебры эндоморфизмов разных векторных пространств (других алгебр, модулей и т. п.), а затем считая определители. Увы, пока что безуспешно :-(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2011, 08:34 
Заслуженный участник


09/02/06
4365
Москва
Фиксируем отображения: $i:A\to I$, где $I$ - множество идемпотентов по ранее приведенной формуле: $i(x_1,...,x_m)=(2^{k_1-1}[x_12^{1-k_1}],...,2^{k_m-1}[x_m2^{1-k_m}])$ и взаимно однозначное отображение из $\phi:I\to B$, где $B$ множество представителей группы А относительно 2А и обозначим отображение $g (x)=\phi(i(x)):A\to B$ . Возьмем в качестве перестановки $s(x)=-2x+g(x)$. При любом выборе взаимно однозначного отображения $\phi:I\to B$ отображение $s(x)$ взаимно однозначно (установлено ранее). Будем искать $\phi$, такой, чтобы $t(x)=s(x)+x=-x+g(x)$ так же была перестановкой. Это эквивалентно однозначности разрешения уравнения:
$-x+g(x)=y$. Обозначим $g(x)=b\in B$. Тогда это эквивалентно однозначному разрешению уравнения относительно $b\in B$:
$$g(b-y)=b, \forall y\in A$$. Так как для любого $y$ существует идемпотент $a\in I$, что при любом $b\in B$ выполняется $g(b-y)=g(b-a)$, то последнее условие эквивалентно однозначности разрешения относительно $b\in B$ уравнения: $g(b-a)=b \forall a\in I$. Последнее легко проверяется для групп с $m=2,3$ исходя из которых можно решить проблему для любого $m$, так как в этом случае всего то отображение из 4 элементов в 4 элемента или из 8 в 8. Можно воспользоваться уже известными решениями. Как я уже говорил решение с циклической перестановкой для $\phi: I\to B$ не подходит, возможно подходит $g(x)=\phi i(x+i_0)$ c циклической перестановкой для отображения $\phi$ но с предварительным сдвигом на не инвариантную относительно перестановок идемпотенту $i_0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 51 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group