Абелевы группы и перестановки

[Руст]

Вы правильно поняли. У меня не было уверенности в однозначном разрешении последнего уравнения
$-x\%2+\pi (b(x))=y\%2$.
Похоже надо брать не перестановку или перестановку, но вместо $x$ в этих соотношениях взять $x+i$, где $i$ - некоторый фиксированный идемпотент. Потому что, иначе $t(x)=t(x+I)$, где $I=(2^{k_1-1},2^{k_2-1},...,2^{k_m-1}$ - идемпотент не меняющийся при циклических перестановках.

[Профессор Снэйп]

Руст в сообщении #428162 писал(а):

...идемпотент не меняющийся при циклических перестановках.

Там скорее не циклические перестановки надо брать, а взять что-нибудь вроде $\tau$ --- автоморфизм $I$, для которого $\sigma(x) = x + \tau(x)$ --- тоже автоморфизм. И на его основе пытаться $\pi$ сооружать...

Я с этой задачей уже давно мучаюсь, столько бессонных ночей ей отдал, столько всего перепробовал. Может, переформулируем её, пока не поздно, в следующем виде: для групп вида $\mathbb{Z}_{2^n} \oplus \mathbb{Z}_{2^m}$ и $\mathbb{Z}_{2^n} \oplus \mathbb{Z}_{2^m} \oplus \mathbb{Z}_{2^k}$ при $n,m,k > 0$ найти перестановки $s$ и $t$ со свойством $s(x) + t(x) = x$.

Ясно, что это эквивалентная формулировка. А симметричность условия на $s$ и $t$ позволяет теперь городить разные новые отображения типа $s'(x) = s(s(x))$, $t'(x) = t(s(x)) + t(x)$, или, скажем, $s''(x) = s^{-1}(x)$, $t''(x) = -t(s^{-1}(x))$, ну и другие похожие алгебраические трюки. Не факт, конечно, что всё время будут получаться перестановки, но, может, что-нибудь на этом пути удастся нарыть?

-- Пн мар 28, 2011 00:44:08 --

P. S. Кстати, для всех рассматриваемых перестановок можно считать, что их значение в нуле всегда равно нулю. Можно также их сопрягать автоморфизмами и снова получать перестановки с нужными свойствами... Короче, если есть хотя бы одна перестановка, то их сразу же оказывается очень-очень много...

[Руст]

Если существует то их много потому, что для любой перестановки $f$ перестановкой является и $f(s(f^{-1}(x)))$. Однако, чтобы удовлетворять вашему условию относительно $t$ надо брать $f$ не произвольную перестановку, годится произвольный автоморфизм.

[Профессор Снэйп]

Вот, кстати, тоже ещё пара наблюдений. Пусть $s$ и $t$ --- перестановки $A$, для которых $s(x) + t(x) = x$.

1) Если $X \subseteq A$ таково, что $s(X) = X$ (например, $X$ --- орбита перестановки $s$), то $\sum_{x \in X} t(x) = 0$. А если $s(X) = X = t(X)$, то $\sum_{x \in X} x = 0$.

2) Если $\varphi$ --- ненулевой гомоморфизм $A$ в $\mathbb{Z}_2$ и для $i,j \in \mathbb{Z}_2$ множество $A_{i,j} = \{ a \in A : \varphi(s(a)) = i, \, \varphi(t(a)) = j \}$, то $|A_{i,j}| = |A|/4$.

-- Пн мар 28, 2011 01:09:41 --

Руст в сообщении #428192 писал(а):

...надо брать $f$ не произвольную перестановку, годится произвольный автоморфизм.

Так я же и говорю автоморфизмами сопрягать Перестановками, конечно, не получится.

[Профессор Снэйп]

Ещё короткое замечание... Раз решить задачу лихим кавалерийским наскоком не получается, приходится собирать всё, относящееся к нашему классу групп. Вдруг да найдётся случайно что-нибудь ценное...

Итак, существование перестановок нужно доказать для абелевой группы $A$, удовлетворяющей перечисленным ниже условиям (которые, очевидно, эквивалентны):

1) Если в $A$ существует элемент порядка $2$, то он не единственен.
2) Сумма всех элементов $A$ равна нулю.
3) Если $|A|$ чётно, то в $A$ существует две подгруппы чётного порядка с нулевым пересечением.
4) Перестановка $a \mapsto -a$ является чётной (раскладывается в произведение чётного числа транспозиций).
5) Для каждого $a \in A$ сдвиг $\sigma_a(x) = x + a$ является чётной перестановкой $A$.
6) Что-то ещё???...

-- Пн мар 28, 2011 11:02:00 --

Пункты 4 и 5 пробовал активно эксплуатировать, задавая представление $A$ через подалгебру алгебры эндоморфизмов разных векторных пространств (других алгебр, модулей и т. п.), а затем считая определители. Увы, пока что безуспешно

[Руст]

Фиксируем отображения: $i:A\to I$, где $I$ - множество идемпотентов по ранее приведенной формуле: $i(x_1,...,x_m)=(2^{k_1-1}[x_12^{1-k_1}],...,2^{k_m-1}[x_m2^{1-k_m}])$ и взаимно однозначное отображение из $\phi:I\to B$, где $B$ множество представителей группы А относительно 2А и обозначим отображение $g (x)=\phi(i(x)):A\to B$ . Возьмем в качестве перестановки $s(x)=-2x+g(x)$. При любом выборе взаимно однозначного отображения $\phi:I\to B$ отображение $s(x)$ взаимно однозначно (установлено ранее). Будем искать $\phi$, такой, чтобы $t(x)=s(x)+x=-x+g(x)$ так же была перестановкой. Это эквивалентно однозначности разрешения уравнения:
$-x+g(x)=y$. Обозначим $g(x)=b\in B$. Тогда это эквивалентно однозначному разрешению уравнения относительно $b\in B$:

$$g(b-y)=b, \forall y\in A$$

. Так как для любого $y$ существует идемпотент $a\in I$, что при любом $b\in B$ выполняется $g(b-y)=g(b-a)$, то последнее условие эквивалентно однозначности разрешения относительно $b\in B$ уравнения: $g(b-a)=b \forall a\in I$. Последнее легко проверяется для групп с $m=2,3$ исходя из которых можно решить проблему для любого $m$, так как в этом случае всего то отображение из 4 элементов в 4 элемента или из 8 в 8. Можно воспользоваться уже известными решениями. Как я уже говорил решение с циклической перестановкой для $\phi: I\to B$ не подходит, возможно подходит $g(x)=\phi i(x+i_0)$ c циклической перестановкой для отображения $\phi$ но с предварительным сдвигом на не инвариантную относительно перестановок идемпотенту $i_0$.