Монополь

[denis_73]

Как я понимаю, два магнитных монополя с положительными (или одноимёнными) магнитными зарядами $q_{m_1}$ и $q_{m_2}$ в однородной среде будут отталкиваться друг от друга с силой $\mathbf{F_{12}}$ по следующей формуле в системе СИ:

$$\mathbf{F_{12}}=\mu_0 \mu \frac{q_{m_1} q_{m_2}} {4 \pi r^2}\mathbf{\hat{r}_{12}}$$

Один монополь будет создавать магнитное поле

$$\mathbf{B}=\mu_0 \mu \frac{q_m}{4 \pi r^2}\mathbf{\hat{r}}$$

Единица магнитного заряда в системе СИ будет равна 1 Н/Тл $=$ 1 А $\cdot$ м.
Правильно?
Если магнитный заряд $q_{m_1}$ — положительный и $q_{m_2}$ — отрицательный, то они будут притягиваться и линии магнитного поля будут направлены от положительного магнитного заряда к отрицательному.
Вопросы:
1. Как известно, индукция магнитного поля считается псевдовектором (аксиальным вектором), значит ли это, что если у нас есть "северный" ("синий") магнитный заряд, то в правой системе координат он будет положительным, а при инверсии координат магнитные линии поменяют направление и магнитный заряд поменяет знак?
2. Чему равно значение в единицах системы СИ элементарного магнитного заряда?
3. Как выглядит лагранжиан магнитного монополя с массой m, зарядом $q_m$, движущегося в электростатическом поле $\mathbf{E}$ со скоростью $\mathbf{v}$?

[arseniiv]

denis_73 в сообщении #1113665 писал(а):

2. Чему равно значение в единицах системы СИ элементарного магнитного заряда?

А где такой заряд найти? Элементарный электрический приняли модулем зарядом электрона/протона/выберите (хотя, кстати, могли взять в три раза меньше, чтобы заряды кварков стали целыми — но раз текущее значение всех более-менее удовлетворяет, остаётся историческим).

[chislo_avogadro]

denis_73 в сообщении #1113665 писал(а):

Как известно, индукция магнитного поля считается псевдовектором (аксиальным вектором),

Монополь должен производить поле той же симметрии, что и электрический заряд.

[arseniiv]

А что с тензором $F_{\mu\nu}$ делать будем? Там нет места для не аксиальных векторов индукции магнитного поля (если можно так выразиться).

[chislo_avogadro]

Значит, место надо найти Собственно, монополь появился потому, что кого-то раздражала асимметрия уравнений Максвелла.

[arseniiv]

Хотя да, в 4-ток магнитный заряд тоже не вставляется.

[Munin]

denis_73 в сообщении #1113665 писал(а):

1. Как известно, индукция магнитного поля считается псевдовектором (аксиальным вектором), значит ли это, что если у нас есть "северный" ("синий") магнитный заряд, то в правой системе координат он будет положительным, а при инверсии координат магнитные линии поменяют направление и магнитный заряд поменяет знак?

По идее да. Но в реальности инверсии координат не бывает, так что не страшно.

denis_73 в сообщении #1113665 писал(а):

2. Чему равно значение в единицах системы СИ элементарного магнитного заряда?

Зависит от теории. Например, в неабелевой калибровочной теории, монополь типа Полякова-'т Хоофта имеет заряд

$$g_M=\dfrac{1}{g},$$

где $g$ - электрический заряд теории. Это в натуральной системе единиц, $\hbar=c=1,$ и кажется, в хевисайдовской ($\varepsilon_0=1$).

Литература:
Окунь. Физика элементарных частиц.
Рубаков. Классические калибровочные поля.

denis_73 в сообщении #1113665 писал(а):

3. Как выглядит лагранжиан магнитного монополя с массой m, зарядом $q_m$, движущегося в электростатическом поле $\mathbf{E}$ со скоростью $\mathbf{v}$?

Ну, поскольку монополь Полякова-'т Хоофта - это топологический солитон, для него лагранжиан не выписывается, но я так понимаю, вам будет достаточно сказать, что он будет двигаться аналогично электрическому заряду под действием силы Лоренца.

-- 09.04.2016 23:41:52 --

arseniiv в сообщении #1113725 писал(а):

А что с тензором $F_{\mu\nu}$ делать будем? Там нет места для не аксиальных векторов индукции магнитного поля (если можно так выразиться).

С ним никаких проблем. Вот потенциал для него - испортится.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1113733 писал(а):

С ним никаких проблем.

А как же действие отражений на пространственно-пространственные компоненты? Какую мы компоненту ни возьми, переворот соответствующего базисного вектора поменяет компоненты, соответствующие остальным, но не себе, и тут не важно, как мы получили, если, конечно, сам тензор истинный, а не псевдо-.

[denis_73]

Munin в сообщении #1113733 писал(а):

Зависит от теории. Например, в неабелевой калибровочной теории, монополь типа Полякова-'т Хоофта имеет заряд

$$g_M=\dfrac{1}{g},$$

где $g$ - электрический заряд теории. Это в натуральной системе единиц, $\hbar=c=1,$ и кажется, в хевисайдовской ($\varepsilon_0=1$).

Мне интересно, что в СИ получится.

$$\alpha_e=\frac{{g}^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar c} \approx \frac{1}{137{,}036},$$

где $g$ — элементарный электрический заряд
Как я понял, для дираковского монополя константа магнитного взаимодействия:

$$\beta_e=\frac{{g_M}^2}{\frac{4 \pi}{\mu_0} \hbar c}=\frac{1}{4 \alpha_e} \approx 34{,}259$$

$$g g_M = \frac{4 \pi}{\mu_0} \frac{\hbar}{2}$$

$$g_M=\frac{g c}{2 \alpha_e}=\frac{h}{\mu_0 g}\approx 3{,}3 \times 10^{-9} \text{А м}$$

У Полякова в 2 раза больше?
Для лагранжиана, как я предполагаю, нужен ещё какой-то векторный потенциал, ротор которого будет равен $\mathbf{E}$? Как он называется?
Почему, если уравнения для $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ симметричны, $\mathbf{B}$ в отличие от $\mathbf{E}$ считается псевдовектором?

[Cos(x-pi/2)]

denis_73 в сообщении #1113754 писал(а):

Почему, если уравнения для $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ симметричны, $\mathbf{B}$ в отличие от $\mathbf{E}$ считается псевдовектором?

Вероятно потому, что оператор $\nabla$ при отражениях или инверсии системы координат преобразуется как истинный (полярный) вектор, а векторное произведение истинных векторов преобразуется как псевдовектор (и, соответственно, векторное произведение истинного вектора с псевдовектором образует истинный вектор).

Значит, поле $\nabla \times \vec{E}$ является псевдовектором, если $\vec{E}$ есть истинный вектор. А поле $\nabla \times \vec{B}$ является истинным вектором, если $\vec{B}$ есть псевдовектор. Как раз такая ситуация видна в уравнениях Максвелла:

$\nabla \times \vec{E}=-\dfrac{1}{c} \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ есть псевдовектор,

$\nabla \times \vec{B}=\dfrac{1}{c} \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}+\dfrac{4 \pi}{c} \vec{j}_{\text{эл}}$ есть истинный вектор.


Про монополь: припомнились старенькие обзорные статьи в УФН

http://ufn.ru/ru/articles/1984/10/d/
"Магнитный монополь пятьдесят лет спустя", С. Коулмен

http://ufn.ru/ru/articles/1984/10/e/
"Магнитный монополь после юбилея", А.Д. Долгов


А также у Швингера про монополь читать было интересно, хотя его "магнитная модель материи" и не подтвердилась:

http://ufn.ru/ru/articles/1971/2/f/
"Магнитная модель материи", Ю. Швингер

[Munin]

denis_73 в сообщении #1113754 писал(а):

У Полякова в 2 раза больше?

Нет, там тоже двойка вылезает.

denis_73 в сообщении #1113754 писал(а):

Для лагранжиана, как я предполагаю, нужен ещё какой-то векторный потенциал, ротор которого будет равен $\mathbf{E}$? Как он называется?

Да никак не называется. Назовите магнитным векторным потенциалом, если хотите. Правда, точно так же как электрический не очень хорошо определён в присутствии магнитных зарядов, так же и магнитный будет не очень хорошо определён в присутствии электрических зарядов - а их-то на свете много. Но можно полный тензор $F_{\mu\nu}$ разложить на два слагаемых, одно из которых образовано электрическим, а другое - магнитным потенциалом, это теорема Гельмгольца о разложении.

denis_73 в сообщении #1113754 писал(а):

Почему, если уравнения для $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ симметричны, $\mathbf{B}$ в отличие от $\mathbf{E}$ считается псевдовектором?

Потому что сама их симметрия проходит через слово "псевдо-", грубо говоря.

Хотя напоминаю, это проблема нефизическая (если мы не живём в неориентируемой Вселенной, что обычно отвергают - были бы трудности со слабым взаимодействием). Более того, ещё в начале 20 века заметили, что уравнения для $\mathbf{E}$ и для $\mathbf{B}$ вообще можно линейно смешать между собой, и получить некий "дуальный поворот". Например, если в природе фундаментальная частица имеет некий электрический и некий магнитный заряды, всегда в одной и той же пропорции, то это ненаблюдаемо: дуальным поворотом теория превращается в вариант, в котором этот заряд целиком считается чисто электрическим.