Псевдотензор энергии-импульса гравитации в f(R) теории

[ksardase]

Работаю в метрике с сигнатурой $(-,+,+,+)$. Из положительной определённости энергии тензора энергии-импульса скалярного поля и гравитации равны соответственно

$T_i^k={\color{red}-\frac{\partial(\mathcal{L}\sqrt{-g})}{\partial(\partial_kg_{lm})}\partial_ig_{lm}}+\delta_i^k\mathcal{L}\sqrt{-g}$
$T_i^k={\color{red}-\frac{\partial(\mathcal{L}\sqrt{-g})}{\partial(\partial_k\varphi)}\partial_i\varphi}+\delta_i^k\mathcal{L}\sqrt{-g}$

Работаю в теории вида

$S=\frac{1}{2\kappa^2}\int d^4x\sqrt{-g}f(R)$

где $\kappa^2\equiv8\pi G$

Вычисляю тензор-энергии импульса гравитации в исходной жордановской системе. Легко видно что

$T_i^k={\color{red}-\frac{F}{2\kappa^2}\frac{\partial(R\sqrt{-g})}{\partial(\partial_kg_{lm})}\partial_ig_{lm}}+\delta_i^k\frac{\sqrt{-g}}{2\kappa^2}{\color{red}f(R)}$

Перейдя в эйнштейновскую систему при помощи конформного преобразования метрики $g_{\mu\nu}\rightarrow Fg_{\mu\nu}$, где $F\equiv df(R)/dR$, я получил следующий результат

$ T_i^k={\color{red}-\frac{F}{2\kappa^2}\frac{\partial(R\sqrt{-g})}{\partial(\partial_kg_{lm})}\partial_ig_{lm}}+\sqrt{-g}\partial_i F\partial_\alpha g_{lm}(-g^{\alpha l}g^{km}-\frac{1}{2}g^{lm}g^{\alpha k})+\\ +\sqrt{-g}\partial_\alpha F\partial_i g_{lm}(-g^{\alpha m}g^{lk}-\frac{1}{2}g^{lm}g^{\alpha k})+\delta_i^k\frac{\sqrt{-g}}{2\kappa^2}({\color{red}f(R)}-3\Box F) $

Думалось что удастся сократить лишние слагаемые при помощи уравнений поля в исходной системе (одинаковые слагаемые выделены красным). Уравнения поля следующие

$FR_{\mu\nu}-\frac{1}{2}f(R)g_{\mu\nu}-\nabla_\mu\nabla_\nu F+g_{\mu\nu}\Box F=0$

А их след

$3\Box F+FR=2f(R)$

Привести два выражения, полученные в разных системах, друг к другу на уравнениях поля не выходит (чтобы понять это достаточно взглянуть на саму структуру слагаемых). Тензор энергии-импульса в исходной системе очевиден, в выражении в эйнштейновской системе я вполне уверен. Уравнения поля в жордановской системе вы можете проверить здесь http://www.livingreviews.org/lrr-2010-3 (выражение 2.7).