Хвост распределения с биномиальными коэффициентами

[Vandaler]

Имеется случайная величина $X_K$ с распределением $\mathsf{P}(X_K = l) = C^{K-1}_{2K-1+l} [p^{l+K} (1-p)^K + p^K (1-p)^{l+K}]$, где $p \in (0,1)$, $K \in \mathbb{N}$. Интересуют численные значения 0.95-квантили: $\mathsf{P}(X_K \geqslant \xi_{0.95}) \leqslant 0.05$. При небольших $K$ и определённых значениях $p$ всё считается в лоб, но, начиная с некоторого $K$, моя программа уже не справляется (считаю в R).

Пытался получить асимптотику при $K \to \infty$ при фиксированном $p$ с помощью формулы Стирлинга, но получаю асимптотику только для $\mathsf{P}(X_K = l)$, но понимания, что с хвостом в целом это не даёт. С помощью каких приёмов можно обойти "невычисляемость" при больших $K$?

[--mS--]

Ваше распределение $X_k$ разлагается на два слагаемых, каждый из которых имеет простой вероятностный смысл.

$$\mathsf P(X_k=l)= C^{k-1}_{2k-1+l}p^k q^{l+k} + C^{k-1}_{2k-1+l} p^{l+k} q^k =$$

$$=\mathsf P(U_k = l+2k)+\mathsf P(V_k=l+2k), \, l\geqslant 0$$

где $U_k$ - номер испытания, в котором произошел $k$-й успех, и $V_k$ - номер испытания, в котором произошла $k$-я неудача. Соответственно, $\mathsf P(X_k > l)=\mathsf P(U_k > l+2k)+\mathsf P(V_k > l+2k)$ при $l\geqslant 0$. Главное, не переходить к левому хвосту, поскольку левые хвосты разные: $\mathsf P(X_k \leqslant l)\neq \mathsf P(U_k \leqslant l+2k)+\mathsf P(V_k \leqslant l+2k)$.

Каждая из величин $U_k, V_k$ есть сумма $k$ независимых слагаемых с геометрическими распределениями, имеющих смысл номера первого успеха (для $U_k$) или номера первой неудачи (для $V_k$):

$$U_k = \sum_{i=1}^k \xi_i, \,\, V_k = \sum_{i=1}^k \eta_i,$$

где $\xi_1,\xi_2,\ldots$ независимы и одинаково распределены, $\eta_1,\eta_2,\ldots$ независимы и одинаково распределены, $\mathsf E\xi_1=\frac1p$, $\mathsf D\xi_1=\frac{q}{p^2}$, $\mathsf E\eta_1=\frac1q$, $\mathsf D\eta_1=\frac{p}{q^2}$.

Поэтому есть повод воспользоваться ЦПТ:

$$\mathsf P(X_k > l)=\mathsf P(U_k > l+2k)+\mathsf P(V_k > l+2k) = $$

$$=\mathsf P\left(\frac{\sum_{i=1}^k \xi_i - k\mathsf E \xi_1}{\sqrt{k\mathsf D\xi_1}} > \frac{l+2k-k/p}{\sqrt{kq/p^2}}\right)\, + \, \mathsf P\left(\frac{\sum_{i=1}^k \eta_i - k\mathsf E \eta_1}{\sqrt{k\mathsf D\eta_1}} > \frac{l+2k-k/q}{\sqrt{kp/q^2}}\right)=P_p+P_q.$$

Обе дроби в левых частях событий под вероятностями сходятся по распределению к стандартному нормальному, а вот поведение правых частей зависит от того, кто больше - $p$ или $q$. Пусть $p<q$. Тогда выбирая $l=\tau \sqrt{kq}/p+k/p-2k$, где $\tau$ - квантиль уровня $0{,}95$ стандартного нормального распределения, получим, что

$$ P_p \to 1-\Phi_{0,1}(\tau)=0{,}05, \,\, P_q \to 0,$$

потому что правая часть в $P_q$ равна

$$\frac{\tau \sqrt{kq}/p+k/p-k/q}{\sqrt{kp/q^2}} \to +\infty \text{ при } k\to\infty. $$

Итак,

$$\xi_{0{,}95}\sim\begin{cases}\tau_{0{,}95} \sqrt{kq}/p+k/p-2k, & p<q, \cr \tau_{0{,}95} \sqrt{kp}/q+k/q-2k, & p>q, \cr 2\tau_{0{,}975} \sqrt{k/2}, & p=q=1/2. \end{cases}$$

[Vandaler]

Спасибо, только вчера заметил, что ЦПТ и отрицательное биномиальное спасают.