Два кубика

[StaticZero]

Давайте бросим два одинаковых игральных кубика. Пусть мы хотим вычислить вероятность того, что в результате броска выпадет сумма очков $s \leqslant 5$.

Посчитаем количество возможных комбинаций в броске. Так как два кубика одинаковы, то комбинации вида $(3, 5)$ и $(5, 3)$ одинаковы, так как нельзя указать, какому кубику какое число принадлежит (иначе это были бы разные кубики). На основании этого переберём результаты бросков следующим образом:

$$ \begin{bmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{4} & \mathbf{5} & \mathbf{6}\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \\ 3 & 4 & 5 & 6 & &\\ 4 & 5 & 6 & & &\\ 5 & 6 & & & &\\ 6 & & & & &\\ \end{bmatrix}, $$

где по вертикали перебраны значения какого-то из кубиков, а в столбце под ним — возможные значения результатов на оставшемся, которые считаются различными. Из таблички очевидно, что таких различных результатов будет 21. Из неё же легко найти, что:

• числа 2 и 3 получаются единственными комбинациями, соответственно $(1, 1)$ и $(1, 2)$;
• число 4 получается двумя комбинациями $(1, 3)$ и $(2, 2)$;
• число 5 может быть получено двумя комбинациями $(1, 4)$ и $(2, 3)$.

Тогда вероятность получения суммы $s \leqslant 5$ сложится из вероятностей получения чисел 2, 3, 4, 5, так как это одинаково благоприятные исходы, друг от друга не зависящие; имеем

$$ P(s \leqslant 5) = \dfrac{1}{21} + \dfrac{1}{21} + \dfrac{2}{21} + \dfrac{2}{21} = \dfrac{2}{7}. $$

Вопросы такие: верно ли приведённое рассуждение? Если нет, то в каком его месте допускается ошибка?

Повод для вопроса такой: пусть нужно выбросить сумму $s = 6$ на разных кубиках, пусть красном и синем. Тогда комбинации $(\textcolor{red}{4}, \textcolor{blue}{2})$ и $(\textcolor{red}{2}, \textcolor{blue}{4})$ считались бы различными, как и в паре $(\textcolor{red}{1}, \textcolor{blue}{5})$ и $(\textcolor{red}{5}, \textcolor{blue}{1})$. С комбинацией $(\textcolor{red}{3}, \textcolor{blue}{3})$ такого изъяна нет; отсюда находим, что вероятность получить "шесть" равна

$$ P_\mathrm{diff}(s = 6) = \dfrac{5}{36} \approx 13{,}89 \%. $$

Как получилось число всех исходов для одинаковых кубиков? Общее число комбинаций на разных кубиках 36: это 6 "дублей" и 30 "обычных". Так как ровно две "обычные" комбинации приводят к одной и той же сумме, то при приравнивании кубиков меж собой вырежем 15 "обычных" комбинаций, что и приведёт к числу 21. Стало быть, вероятность получить "шесть" на одинаковых кубиках равна

$$ P_\mathrm{same}(s = 6) = \dfrac{3}{21} = \dfrac{1}{7} \approx 14{,}29 \%. $$

Отсюда налицо $P_\mathrm{diff}(s = 6) < P_\mathrm{same} (s = 6)$. Не кроется ли здесь каких-то противоречий? Или неравенство естественным образом возникает, когда мы вводим "одинаковость" кубиков?

(Моделирование броска)

Моделирование броска одинаковых кубиков: берём такие кубики, бросаем их с закрытыми глазами, открываем их лишь тогда, когда движение закончилось. Наблюдаем результат.

[iifat]

Вероятность двойки и четвёрки вдвое выше двух троек, хоть одинаковые кубики, хоть разные. Так что элементарные события таки учитывают порядок.

[arseniiv]

StaticZero в сообщении #1112810 писал(а):

Моделирование броска одинаковых кубиков: берём такие кубики, бросаем их с закрытыми глазами, открываем их лишь тогда, когда движение закончилось. Наблюдаем результат.

Побросайте и удивитесь тому, что исходы с разными числами будут попадаться всё-таки в два раза чаще, чем дубли.

P. S. Фактически, порядок тут есть до самого конца, просто вы его не учитываете. Чтобы получить ваше распределение, надо кинуть один кубик и потом кидать второй до тех пор, пока не выпадет число, не большее числа на первом. (Или не меньшее.)

[Dmitriy40]

StaticZero
Вы неправильно считаете вероятности в первом случае, с одинаковыми кубиками. Хотя там и 21 (не проверял, почему не 12?!) разных комбинаций, но они вовсе не равновероятны! Вероятность выбросить сумму 3 вдвое больше вероятности выбросить сумму 2. Считать надо вероятности всех 36 комбинаций и с одинаковыми суммами складывать вероятности.

[StaticZero]

iifat в сообщении #1112814 писал(а):

Вероятность двойки и четвёрки вдвое выше двух троек, хоть одинаковые кубики, хоть разные

То есть вероятности по "обычным комбинациям" выпадения определённой суммы нужно умножать на два. А как быть с количеством разных исходов? Оно тогда неизбежно должно стать 36, как и было, несмотря на запрет различения комбинаций $(4, 2)$ и $(2, 4)$.

[mihailm]

StaticZero в сообщении #1112810 писал(а):

...Моделирование броска одинаковых кубиков: берём такие кубики, бросаем их с закрытыми глазами, открываем их лишь тогда, когда движение закончилось. Наблюдаем результат.

Тут такое замечание поможет: поцараем чуток один из одинаковых кубиков. Неужели от этого вероятность удвоится?

[StaticZero]

mihailm в сообщении #1112818 писал(а):

Тут такое замечание поможет: поцараем чуток один из одинаковых кубиков. Неужели от этого вероятность удвоится?

Вот это меня и настораживает в приведённом решении. Потому и написал.

[Aritaborian]

Ильф и Петров писал(а):

— Поезжайте в Киев! — сказал он неожиданно. — И тогда вы поймете, что я прав. Обязательно поезжайте в Киев!
— Какой там Киев! — пробормотал Шура. — Почему?
— Поезжайте в Киев и спросите там, что делал Паниковский до революции. Обязательно спросите!
— Что вы пристаёте? — хмуро сказал Балаганов.
— Нет, вы спросите! — требовал Паниковский. — Поезжайте и спросите! И вам скажут, что до революции Паниковский был слепым. Если бы не революция, разве я пошел бы в дети лейтенанта Шмидта, как вы думаете? Ведь я был богатый человек.

[StaticZero]

Dmitriy40 в сообщении #1112816 писал(а):

но они вовсе не равновероятны!

Допустим, мы придали этим вероятностям тот вес, который нужен. Но всё ещё неясно, почему комбинаций должно быть 36. Как-то не идёт пока в голову.

Иными словами, почему 21 — это плохо и негодно, а 36 — правильно и честно.

[arseniiv]

StaticZero в сообщении #1112817 писал(а):

А как быть с количеством разных исходов?

А что с ним не так? Элементарные исходы не обязаны быть равновероятными, можете ими хоть суммы сразу назначить. Или можно кидать шесть кубиков, а потом вынимать из колоды в 15 карт одну, определяющую, какую пару кубиков учитывать. Вероятности интересующих событий никак не поменяются.

StaticZero в сообщении #1112819 писал(а):

Вот это меня и настораживает в приведённом решении. Потому и написал.

Ещё раз, чтобы получить ваше распределение из 21 равновероятного исхода, надо кидать кубики по-другому:

arseniiv в сообщении #1112815 писал(а):

P. S. Фактически, порядок тут есть до самого конца, просто вы его не учитываете. Чтобы получить ваше распределение, надо кинуть один кубик и потом кидать второй до тех пор, пока не выпадет число, не большее числа на первом. (Или не меньшее.)

На самом деле,

StaticZero в сообщении #1112810 писал(а):

Давайте бросим два одинаковых игральных кубика.

— это не описание вероятностного пространства. Эти слова можно понимать как угодно. Если под описанием понимать процедуру, которую вы привели ниже:

StaticZero в сообщении #1112810 писал(а):

Моделирование броска одинаковых кубиков: берём такие кубики, бросаем их с закрытыми глазами, открываем их лишь тогда, когда движение закончилось. Наблюдаем результат.

— то те 21 исход не равновероятны.

[StaticZero]

arseniiv в сообщении #1112824 писал(а):

то те 21 исход не равновероятны.

А как тогда задать необходимые веса? Он-то всяко будет дробный, как я понимаю, и превращать 21 в 36 так или иначе.

[arseniiv]

Вы задаёте не тот вопрос. Давайте лучше я задам: как определяется вероятностное пространство?

[Dmitriy40]

StaticZero в сообщении #1112822 писал(а):

почему 21 — это плохо и негодно, а 36 — правильно и честно.

Потому что 36 - полное количество всех возможных исходов (комбинаций). И вот они и равновероятны при Ваших бросках. А вот потом Вы накладываете ограничение о сумме и получаете меньше исходов, но уже с другими вероятностями! Которые и надо аккуратно считать. И их всё же должно получиться 12, а не 21.

И не надо задавать никакие веса, они сами посчитаются при преобразовании 36 -> X (x=12 если что).

-- 06.04.2016, 18:50 --

StaticZero
Можно даже упростить вопрос: при броске одного кубика какова вероятность выпадения числа кратного 5-ти? $\frac{1}{2}$ или $\frac{1}{5}$ или $\frac{1}{6}$? И почему?

[StaticZero]

Dmitriy40 в сообщении #1112830 писал(а):

И их всё же должно получиться 12

я ещё больше запутаюсь. Поясните, пожалуйста.

arseniiv в сообщении #1112829 писал(а):

Давайте лучше я задам: как определяется вероятностное пространство?

Я терминологию вероятностей практически не знаю, в том числе и что такое "вероятностное пространство", так как задачу взял из "наивной" теории, где удачные исходы делятся на все возможные.

Dmitriy40 в сообщении #1112830 писал(а):

при броске одного кубика какова вероятность выпадения числа кратного 5-ти? $\frac{1}{2}$ или $\frac{1}{5}$ или $\frac{1}{6}$? И почему?

$\dfrac{1}{6}$, так как кратна пяти лишь сама пятёрка, а кубик имеет 6 равновероятных граней.

-- 06.04.2016, 20:24 --

arseniiv в сообщении #1112815 писал(а):

Чтобы получить ваше распределение, надо кинуть один кубик и потом кидать второй до тех пор, пока не выпадет число, не большее числа на первом. (Или не меньшее.)

Хорошо, принял.

Dmitriy40 в сообщении #1112830 писал(а):

преобразовании 36 -> X

Попробую так. Пусть мы переходим ко всем возможным суммам; их будет 11. Сумма 2 приходит от $(1, 1)$, сумма 3 — от $(1, 2) + (2, 1)$, 4 — $(1, 3) \times 2 + (2, 2), \ldots$ Тогда имеем такую табличку для 2, 3, ..., 11, 12:

$$ \dfrac{1}{36}, \ \dfrac{2}{36}, \ \dfrac{3}{36}, \ \dfrac{4}{36}, \ \dfrac{5}{36}, \ \dfrac{6}{36}, \ \dfrac{5}{36}, \ \dfrac{4}{36}, \ \dfrac{3}{36}, \ \dfrac{2}{36}, \ \dfrac{1}{36}. $$

Теперь отсюда надо сложить требуемые числа и получить $\dfrac{5}{18}$.

[Dmitriy40]

StaticZero в сообщении #1112836 писал(а):

Попробую так.

Вот теперь правильно.
Не понял для какого условия Вы получили $\frac{5}{18}$ (для суммы не более 5?), но похоже посчитали правильно.

Про 12 сумм я стормозил, конечно же их всего 11, суммы 1 не бывает. Но и не 21.

Вопрос про один кубик снимается как слишком тривиальный, я хотел им иллюстрировать переход от равновероятных событий к меньшему количеству событий уже с разной вероятностью. Но Вы его и так совершили для двух кубиков, причём правильно.

-- 06.04.2016, 19:39 --

Не знаю поддержат ли меня уважаемые участники, но дам совет: если плохо понимаете как надо считать - ищите равновероятные события или события с заранее точно известными вероятностями. Априори известными, не догадками. И лучше пусть их будет как можно больше, объединить проще потом. А потом накладывайте условия и идите к своим комбинациям аккуратно считая суммарные вероятности. Так сложнее сделать ошибку.