Модуль сдвига и модуль объемного сжатия смеси

[equilibria]

Здравствуйте, коллеги!
Вообще я - геолог, занимаюсь ледяными спутниками планет-гигантов. Но вот столкнулась с чисто физическими задачами и очень рассчитываю на вашу профессиональную помощь.

Имеются следующие данные:
модуль сдвига (shear modulus) льдов высокого давления $\mu$ (не знаю, где набирать этот символ) равен 6 GPa.
$\mu$ для каменной породы равен 70 GPa.
Мне нужно уметь рассчитывать $\mu$ смеси льдов и камня при разных масс. долях компонентов.

Та же задача касается модуля объемного сжатия (bulk modulus), $K$.
Для льдов он 20 GPa, для камня 200. Чему будет равен $K$ каменно-ледяной смеси в зависимости от концентрации компонентов?

Если можно, дайте, пожалуйста, ссылку на учебник, где бы эта тема подробно рассматривалась.

Спасибо.

Pphantom:

Поправил выше обозначения, посмотрите и в дальнейшем воспроизводите.

[Pphantom]

А модуль Юнга для смеси Вы знаете? Если да, то дальше все достаточно просто, поскольку и модуль сдвига, и модуль всестороннего сжатия легко через него выражаются (коэффициент Пуассона можно грубо оценить, для требуемых целей этого хватит). Вот где взять модуль Юнга... что-то мне кажется, что тут ничего лучшего, чем экспериментальные измерения, не будет (и то придется руками закладывать, например, какой-нибудь спектр размеров камней).

[equilibria]

Нет, модуля Юнга для смеси я не знаю..
Наверное, он тоже будет разным для разных долей компонентов..
Экспериментов никаких нет.

[Pphantom]

equilibria в сообщении #1112443 писал(а):

Нет, модуля Юнга для смеси я не знаю..
Наверное, он тоже будет разным для разных долей компонентов..
Экспериментов никаких нет.

Тогда, наверное, придется ставить. Возможно, кто-нибудь что-то хорошее скажет, но мне кажется, что результат должен существенно зависеть не только от долей компонент смеси, но и от структурных особенностей смеси, а тут вариантов куча. Правда, и данных соответствующих вроде толком нет...

[equilibria]

Мне бы подошли даже приблизительные оценки.
Структурными особенностями смеси можно пренебречь. Лед мелкозернистый, камень как пыль. Такой грязный лед.
Вот, например, если просто взять сумму произведений $\mu$ компонентов и их массовых долей - ошибка существенная будет?

[Pphantom]

equilibria в сообщении #1112451 писал(а):

Вот, например, если просто взять сумму произведений $\mu$ компонентов и их массовых долей - ошибка существенная будет?

Если очень приблизительно, то, наверное, можно и так. Но есть хороший шанс промахнуться (ибо получить бетон линейной интерполяцией песка и цемента не получится ).

[GraNiNi]

equilibria в сообщении #1112451 писал(а):

Мне бы подошли даже приблизительные оценки.
Структурными особенностями смеси можно пренебречь. Лед мелкозернистый, камень как пыль. Такой грязный лед.
Вот, например, если просто взять сумму произведений $\mu$ компонентов и их массовых долей - ошибка существенная будет?

Здесь не все так однозначно чтобы пренебрегать структурой композиции типа лед-наполнитель и модуль сдвига наполнителя не вносит пропорциональный вклад в суммарную прочность.

Например, если пропитать стопку газет водой и заморозить, то получим очень прочную композицию, которую даже молотком не разобьешь.
Если же из мелкодисперсного материала (песок) сформировать кирпич, пропитать водой и также заморозить, то полученный материал будет хрупким и легко разбивается.

При этом, модуль сдвига бумаги намного меньше, чем у песка (кварца).

[equilibria]

Т.е. каким-то простым способом эта задача не решается (а я надеялась..).
Надо искать какие-н. экспериментальные работы по определению $\mu$ , $K$ или модуля Юнга именно что в каменно-ледяной смеси.
Спасибо. Попробую покопать тему в этом направлении.

[AnatolyBa]

Наверно еще нужно как-то учесть текучесть, пластичность (при определении модуля сдвига).
Если речь идет об очень высоких давлениях (где-то в центре спутника), то нельзя ли предположить, текучесть льда, однородность давления?
Тогда модуль объемного сжатия можно оценить.

[equilibria]

При высоких давлениях спутников (до 40 кбар) устойчивы высокобарные формы кристаллических водных льдов (лед VI и лед VII). Т.е. текучесть льда не ожидается, а пластичность, наверное, входит в экспериментальные оценки $\mu$.
Однородность давления? Предполагаем гидростатическое давление.
Можно ли при этих условиях оценить модуль объемного сжатия смеси?

[Alex-Yu]

equilibria в сообщении #1112439 писал(а):

Мне нужно уметь рассчитывать $\mu$ смеси льдов и камня при разных масс. долях компонентов.

Та же задача касается модуля объемного сжатия (bulk modulus), $K$.

Для модуля всестороннего сжатия грубую (!) оценку получить, пожалуй, можно. Действительно, плотность упругой энергии при гидростатическом сжатии можно записать как

$$ \frac{\sigma^2}{2K} $$

Давление $\sigma$ в компонентах смеси приблизительно (!) равны. А общая энергия примерно сумма энергий одной компоненты и другой. Поэтому

$$ \frac{\sigma^2}{2K_{mix}} = p_1\frac{\sigma^2}{2K_1} + p_2 \frac{\sigma^2}{2K_2} $$

где $p_1$ и $p_2$ --- объемные (!) доли первой и второй компоненты.

Ну дальше $\sigma$ сокращается и запросто получается формула (приближенная!) для модуля сжатия смеси.

А вот с модулем сдвига такой "фокус", думаю, не пройдет. Даже в качестве грубой оценки. Потому как не вижу никаких (!) оснований считать сдвиговые напряжения одинаковыми в двух компонентах смеси. Скорее всего, там разные напряжения будут. И вообще граница между зернами будет играть определюящую роль. Иначе бы модуль сдвига песка был бы равен модулю сдвига кварца. Что, очевидно, совсем не так. Впрочем, для плотной, хорошо спрессованной смеси --- бог весть...

Даже для модуля сжатия такой подход довольно грубый. Было бы точно для "текучих" веществ. А вот для нетекучих --- очень грубо. Впрочем, на больших временах (!!!!) лед довольно неплохо течет. Но в этих условиях само понятие модуля упругости становится довольно условно применимым. В общем это все весьма и весьма не просто на самом деле.

-- Ср апр 06, 2016 17:51:40 --

GraNiNi в сообщении #1112649 писал(а):

Например, если пропитать стопку газет водой и заморозить, то получим очень прочную композицию, которую даже молотком не разобьешь.
Если же из мелкодисперсного материала (песок) сформировать кирпич, пропитать водой и также заморозить, то полученный материал будет хрупким и легко разбивается.

Не путайте прочность и упругие модули!

И, кстати, здесь, в рамках этой задачи, бумага --- это смесь воздуха и волокон. При пропитывании и замораживании воздух заменяется на лед... Темное дело. В общем пример неадекватный.

-- Ср апр 06, 2016 18:16:01 --

Alex-Yu в сообщении #1112689 писал(а):

Давление $\sigma$ в компонентах смеси приблизительно (!) равны.

Впрочем, даже для всестороннего сжатия адекватность такого условия сомнительна. Во всяком случае легко придумать особый случай, когда это точно не так. Пусть одна из компонент занимает очень маленькую долю и $K$ этой компоненты вообще ноль. Т.е. имеем некую упругую среду с редко встречающимися пустотами (упругий модуль пустоты очевидно ноль). И что давление в пустоте будет такое же, как и в окружающем упругом теле? Нет конечно, в пустоте даление ноль.

В общем ничего простого здесь придумать не получается даже для сжатия. Что уж говорить о сдвиге...

[equilibria]

Большое спасибо!
Попробую получить хотя бы оценки для модуля всестороннего сжатия и поискать какие-нибудь эксперименты по модулю сдвига.
Предельные условия с пустотами к спутникам к счастью неприменимы. Мы не можем создать такой спутник с учетом ограничений по массе и моменту инерции. В расчетах получается, что камня будет минимум процентов 20.
Вообще мне это надо, чтобы рассчитывать числа Лява. Обидно будет, если из-за отсутствия данных, мы не сможем продвинуться дальше.

[GraNiNi]

Alex-Yu в сообщении #1112689 писал(а):

Не путайте прочность и упругие модули!

Между прочностными характеристиками и упругими модулями очень часто имеется корреляционная связь.

Да и ТС, наверное, интересует не сама абстрактная величина модуля сдвига смеси льда и горных пород, а то, насколько более "прочной" или менее деформируемой станет эта композиция по сравнению с чистым льдом, при наложении нагрузок разного рода - давления или даже, например, падении метеорита.

Но одно можно сказать с уверенностью, что зависимость модуля сдвига от содержания горных пород вмурованных в лед, не подчиняется закону аддитивности.

[Sender]

Вот, нашёл статью, где исследуются механические характеристики смеси льда и грязи. Аддитивностью там и не пахнет.

[equilibria]

Да, спасибо. Пройдусь по ссылкам, может, что-нибудь полезное попадется.