Неравенство из Robust Optimization, Ben-Tal и др.

[Koncopd]

На странице 19 в Robust Optimization, Ben-Tal и др., Example 1.3.3. присутствуют такие неравенства:

$$\max_{||\varsigma||_2\leq\Omega}\big[\sum_{l=1}^L\varsigma_l[[a^l]^Tx-b^l]\big]\leq b^0-[a^0]^Tx\Leftrightarrow\Omega\sqrt{\sum_{l=1}^L([a^l]^Tx-b^l)^2}\leq b^0-[a^0]^Tx$$

И мне непонятно, отчего так.
Насколько я понимаю, такое равенство верно (сопряженные нормы)

$$\max_{||\varsigma||_2\leq\Omega}\big|\sum_{l=1}^L\varsigma_l[[a^l]^Tx-b^l]\big|=\Omega\sqrt{\sum_{l=1}^L([a^l]^Tx-b^l)^2}$$

Но тут ведь модуль нужен, в неравенстве нет его. Да, с помощью этого равенства можно увидеть, что следование справа-налево верно, но обратное (слева-направо) то как доказать?