Объем тела вращения

[davvie]

Нужно найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной гиперболой, заданной в каноническом виде $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ и двумя прямыми $y=b$, $y=-b$.
Вроде бы задачка стандартная на приложение определенного интеграла и формулы $V = 2 \pi \int\limits_{a}^{b}xf(x)dx$, но я как-то застрял с ней.

Если я все правильно понял, вращается вот такая штука:


Чтобы воспользоваться этой формулой, нужно y выразить через x, но в такой форме получается корень. Не могли бы вы подсказать, так и должно быть, или я что-то делаю совсем не так?

[Pphantom]

davvie в сообщении #1111989 писал(а):

Если я все правильно понял, вращается вот такая штука:

Это правильно.

davvie в сообщении #1111989 писал(а):

Чтобы воспользоваться этой формулой, нужно y выразить через x, но в такой форме получается корень.

В принципе, само по себе это не страшно, но в данном случае попросту не нужно. Вместо записи непонятно откуда взявшейся формулы лучше подумайте, что будет, если распилить тело вращения на тонкие горизонтальные диски: чему равен объем каждого такого диска?

[ET]

davvie в сообщении #1111989 писал(а):

и формулы $V = 2 \pi \int\limits_{a}^{b}xf(x)dx$

Откуда эта формула? Нам еще в школе совсем другую давали.

[Brukvalub]

ET в сообщении #1111997 писал(а):

Откуда эта формула? Нам еще в школе совсем другую давали.

davvie в сообщении #1111989 писал(а):

... вокруг оси OY

[ewert]

davvie в сообщении #1111989 писал(а):

Чтобы воспользоваться этой формулой, нужно y выразить через x, но в такой форме получается корень.

Корень -- сам по себе не проблема, хуже возня с пределами интегрирования (хотя и это не бог весть какая проблема). Лучше воспользуйтесь советом Pphantom и интегрируйте по игрекам вместо иксов. Что, между прочим, тоже весьма и весьма стандартно для учебных задач.

[ET]

(Оффтоп)

Усе, понял, он цилиндриками интегрирует....

[davvie]

Pphantom в сообщении #1111990 писал(а):

davvie в сообщении #1111989 писал(а):

Если я все правильно понял, вращается вот такая штука:

Это правильно.

davvie в сообщении #1111989 писал(а):

Чтобы воспользоваться этой формулой, нужно y выразить через x, но в такой форме получается корень.

В принципе, само по себе это не страшно, но в данном случае попросту не нужно. Вместо записи непонятно откуда взявшейся формулы лучше подумайте, что будет, если распилить тело вращения на тонкие горизонтальные диски: чему равен объем каждого такого диска?

Каждый такой диск - небольшой цилиндр, но я не понимаю, как меняется радиус основания, сколько таких цилиндров всего и как применить интеграл тогда.

Похоже, я не очень ориентируюсь в этой теме. :( Не подскажете, каких знаний не хватает (и что лучше почитать), чтобы разобраться в этом без готовой формулы?

[Pphantom]

davvie в сообщении #1112216 писал(а):

но я не понимаю, как меняется радиус основания

Радиус основания - это $x$, соответствующий некоторому $y$. Причем, заметьте, Вас интересует площадь основания, т.е. нужен Вам на самом деле $x^2$.

davvie в сообщении #1112216 писал(а):

сколько таких цилиндров всего

Много. Этот вопрос Вас на самом деле интересовать не должен.

davvie в сообщении #1112216 писал(а):

Похоже, я не очень ориентируюсь в этой теме. :( Не подскажете, каких знаний не хватает (и что лучше почитать), чтобы разобраться в этом без готовой формулы?

Скорее всего, тут не столько читать надо, сколько понимать смысл прочитанного.

Давайте действовать постепенно. Вроде бы мы уже договорились, что искомое тело вращения мы заменяем на много-много плоских цилиндров (в просторечии именуемых дисками) с горизонтальными основаниями. Если дисков будет очень много, то их суммарный объем будет очень похож на объем тела, который мы хотим найти, не так ли?

Теперь предположим, что нас интересует диск, находящийся на координате $y$, а его высота пусть будет $\Delta y$. Чему равен его объем? Напишите.

[davvie]

Pphantom в сообщении #1112222 писал(а):

Теперь предположим, что нас интересует диск, находящийся на координате $y$, а его высота пусть будет $\Delta y$. Чему равен его объем? Напишите.

Его объем будет $\pi \cdot (a^2 + \frac{a^2y^2}{b^2}) \cdot \Delta y$ ?

[Pphantom]

davvie в сообщении #1112514 писал(а):

Его объем будет $\pi \cdot (a^2 + \frac{a^2y^2}{b^2}) \cdot \Delta y$?

Правильно (только заключать формулы в доллары не забывайте).

Соответственно, если все такие объемы сложить, получится интересующий нас объем тела вращения. Пишем:

$$ V=\sum\limits_\text{по всем дискам} \pi \cdot \left(a^2 + \frac{a^2y^2}{b^2}\right) \cdot \Delta y $$

А теперь вспоминаем историю. Когда-то кое-кто догадался, что если в подобной сумме слагаемые будут очень маленькими (если диски - очень тонкие), то ее можно будет вычислить, не складывая все многочисленные слагаемые непосредственно, а воспользовавшись другими, более удобными методами. При этом, правда, принято вместо $\Delta y$ писать $dy$, а вместо греческой буквы $\Sigma$ записывать латинскую $S$, правда, сильно вытянутую по вертикали, вот так: $\int$. Если мы сделаем соответствующие переобозначения, то у нас получится следующее:

$$ V=\int\limits_\text{по всем дискам} \pi \cdot \left(a^2 + \frac{a^2y^2}{b^2}\right) \, dy $$

Осталось немного. Вместо записи "по всем дискам" в подобной ситуации принято писать, от какого и до какого значения меняется координата очередного диска $y$. Вот так:

$$ V=\int\limits_{-b}^b\pi \cdot \left(a^2 + \frac{a^2y^2}{b^2}\right) \, dy $$

Все. Интеграл берите сами, насколько я понимаю, это Вы делать умеете. А на будущее запомните (надеюсь, математики меня не сильно за это побьют): в подобных задачах, равно как и во многих других приложениях интегрального исчисления, интеграл - это сумма большого числа маленьких слагаемых, в которой принято писать ту самую закорюку вместо буквы $\Sigma$. Если Вы это хорошо осознаете, то никакие готовые "формулы для вычисления объемов" Вам уже не понадобятся, их можно будет выписывать самостоятельно для каждой конкретной задачи и в том виде, в котором они для данной задачи удобнее.

[davvie]

Теперь все стало ясно, спасибо огромное!

(Оффтоп)

буду знать, обернул формулу в $