Задача по микроэкономике

[Purus_Idiota]

Здравствуйте. Хотел бы попросить помощи в решении вот такой задачи:
Условие:
На конкурентном рынке сахара предложение обеспечивают $78$ компаний-производителей. Большинство фирм применяют одинаковую технологию производства сахара, которую описывает производственная функция: $Q_{s_1} = \sqrt[4]{KL}$. Однако шести производителям удалось внедрить новую технологию производства, для каждого из которых $Q_{s_1} = 2 \sqrt[4]{KL}$, где $K$ - количество вовлеченного капитала, $L$ - труда.
Производители имеют возможность приобрести труд и капитал в неограниченном количестве по фиксированным ценам: $P_L = 2$ ден. ед., $P_K = 18$ ден. ед. Спрос на этом рынке предъявляют $80$ покупателей с одинаковыми функциями полезности: $U = \sqrt{Q_1Q_2}$, где $Q_1$ - количество сахара (кг), $Q_2$ - количество мёда (кг). Расходы каждого из покупателей на приобретение мёда и сахара равны $40$ ден. ед.
Определить сумму налоговых поступлений, которые получит государство от установления акцизного налога на сахар в размере $2$ ден. ед. за кг.
Попытка решения:
Из функции полезности: $MU_1 = \frac{Q_2}{2 \sqrt{Q_1Q_2}}$, $MU_2 = \frac{Q_1}{2 \sqrt{Q_1Q_2}}$, условие равновесия потребителя: $\begin{cases}\frac{MU_1}{P_1} = \frac{MU_2}{P_2}\\ I = P_1Q_1 + P_2Q_2\end{cases}$ (я обозначил цену сахара $P_1$, мёда - $P_2$). Получим $P_1Q_1 = P_2Q_2 \Rightarrow 40 = 2P_1Q_1 \Rightarrow Q_{d_1} = \frac{20}{P_1}$. Для $80$ потребителей спрос будет равен $Q_{d_1} = \frac{1600}{P_1}$. С функцией спроса, надеюсь, разобрался.
Далее находим предельные продукты труда и капитала: $MP_L = \frac{K}{4 \sqrt[4]{K^3L^3}}, MP_K = \frac{L}{4 \sqrt[4]{K^3L^3}}$.
$\frac{MP_K}{P_K} = \frac{MP_L}{P_L} \Rightarrow L = 9K$. В производственной функции заменим поочерёдно $L$ на $9K$ и $K$ на $\frac{L}{9}$. Получим: $K = \frac{Q^2}{3}$, $L = 3Q^2$.
$TC = P_LL + PK_K$, значит, $TC = 36K = 4L$. Можно выразить через $Q$: $TC = 12Q^2 + 2Q$ ($2Q$ появилось из-за акциза). $MC = 24Q + 2$.
Найдём равновесный уровень использования труда и капитала: $Pr = TR - TC \Rightarrow Pr = P \sqrt{3K} - 36K - 2 \sqrt{3K}$.
Прибыль максимальна, когда производная равна нулю: $ \frac{3P}{2 \sqrt{3K}} - 36 - \frac{3}{\sqrt{3K}} = 0 \Rightarrow 3P - 6 = 72 \sqrt{3K} \Rightarrow K = \frac{(P-2)^2}{1728}$. Аналогичным способом получим $L = \frac{(P-2)^2}{192}$. Теперь, подставив равновесные $L$ и $K$ в производственную функцию получим предложение одной фирмы: $Q_{s_1} = \frac{P -2}{24}$. Для $72$ фирм будем иметь $Q_{s_1} = 3P - 6$.
Точно так же рассчитаем аналогичные показатели для шести "продвинутых" фирм (там тоже я получил $L = 9K$): $K = \frac{(P-2)^2}{432}, L = \frac{(P-2)^2}{48} \Rightarrow Q = \frac{P-2}{6}$. Для $6$ фирм: $Q = P - 2$.
А вот что делать дальше, я не знаю. Я думал, что поскольку шесть фирм доминируют, то они должны работать со своей функцией спроса, которая есть разница между общим спросом и предложением остальных фирм. Но функция общего спроса получилась нелинейная, поэтому у меня не получается выразить $P$ чисто через $Q$ из $Q = \frac{1600}{P} - 3P + 6$. $MR$ могу выразить только через $P$: $MR = -6P + 6$. Если выразить $MC$ через $P$, то тоже, вроде бы, ничего хорошего не получу, приравняв эти величины. Подскажите, пожалуйста, следующий шаг.

[Yodine]

Purus_Idiota в сообщении #1110947 писал(а):

Здравствуйте. Хотел бы попросить помощи в решении вот такой задачи:
///
поэтому у меня не получается выразить $P$ чисто через $Q$ из $Q = \frac{1600}{P} - 3P + 6$. $MR$ могу выразить только через $P$: $MR = -6P + 6$. Если выразить $MC$ через $P$, то тоже, вроде бы, ничего хорошего не получу, приравняв эти величины. Подскажите, пожалуйста, следующий шаг.

Решите квадратное уравнение и сможете выразить.

[Purus_Idiota]

Я, видимо, что-то делаю (или и ранее сделал) не так, поскольку у меня получается: $PQ = 1600 - 3P^2 + 6P \Rightarrow 3P^2 + (Q - 6)P - 1600 = 0 \Rightarrow P_{1,2} = \frac{6 - Q \pm\ \sqrt{Q^2 - 12Q + 19236}}{6}$ Отсюда $MR = \frac16 (-2Q + 6 + \sqrt{Q^2 - 12Q + 19236} + \frac{2Q^2 - 12Q}{2 \sqrt{Q^2 - 12Q + 19236}})$. Приравняв $MR$ и $MC (MC = 24Q +2)$ получу: $(73Q + 3) \sqrt{Q^2 -12Q +19236} = Q^2 - 9Q + 9618$. Дальше, мне показалось, нет смысла пытаться решать эту ветку, поскольку слишком большие числа получаются, чего не должно быть в таких задачах.

[Yodine]

В задачу и обозначения не вчитывался.
Навскидку, из этого $MR=MC$ не должно получиться ваше страшное выражение, похоже ошиблись в подстановке, попробуйте последовательно расписать.

[Purus_Idiota]

Перепроверил расчёты, вроде бы, всё правильно. Если последовательно последние выражения:

$$PQ = 1600 - 3P^2 + 6P \Rightarrow 3P^2 + (Q - 6)P - 1600 = 0 \Rightarrow P_{1,2} = \frac{6 - Q \pm\ \sqrt{Q^2 -12Q + 19236}}{6} \Rightarrow$$ $$MR = \frac16 (-2Q + 6 + \sqrt{Q^2 - 12Q + 19236} + \frac{2Q^2 - 12Q}{2 \sqrt{Q^2 - 12Q + 19236}}) \Rightarrow$$ $$MR = \frac16(-2Q + 6 + \frac{2(Q^2 - 12Q + 19236) + 2Q^2 - 12Q}{2 \sqrt{Q^2 -12Q + 19236}}) \Rightarrow$$ $$MR = \frac13(-Q + 3) + \frac{4(Q^2 - 9Q + 9618)}{6 \sqrt{Q^2 - 12Q + 199236}}.$$ $$MR = MC \Rightarrow \frac13(-Q + 3) + \frac{(Q^2 - 9Q + 9618)}{3 \sqrt{Q^2 - 12Q + 199236}} = 24 Q + 2 \Rightarrow$$ $$-Q +3 + \frac{(Q^2 - 9Q + 9618)}{\sqrt{Q^2 - 12Q + 199236}} = 72Q + 6 \Rightarrow$$ $$(73Q + 3) \sqrt{Q^2 -12Q +19236} = Q^2 - 9Q + 9618$$

Скорее всего, у меня теоретическая ошибка, вот только найти её не могу. Я думаю, что это, скорее всего, связано с разницей спроса и предложения меньших фирм. Может, не нужно отнимать? Может, они просто присоединяются к предложению остальных? Но тогда, приравняв спрос и предложение, квадратное уравнение не будет иметь целых корней. Что-то я совсем не въезжаю.