Хороших чисел не существует?

[Ktina]

Назовём натуральное число n хорошим, если набор чисел $1, 2, \dots , 2n$ можно разбить на пары, сумма чисел в каждой из которых есть степень двойки. Найдите все хорошие числа.
(Р. Женодаров, О. Крижановский)

Ну вот! Или опять лыжи не едут, или...
В любом наборе $1, 2, \dots , 2n$ у наибольшей степени двойки не будет пары. Ведь для того, чтобы в сумме получилась степень двойки, нужно поставить ей в пару либо неположительное число (а таковых в наборе нет), либо себя самоё (а это уже, пардон, как-то нехорошо), либо число, как минимум втрое большее (а таковых в наборе тоже нет).
Кстати, если под $2n$ у них подразумевается непропечатанная $2^n$, это не меняет дела.

Где у меня ошибка?

[alexo2]

$4T$, где $T$ - треугольное число..

[Mihr]

alexo2, что-то я не понимаю. Возьмём хотя бы наименьшее треугольное число: $T=1$. Тогда $n=4T=4$, соответственно, $2n=8$. Вы можете указать способ разбить набор натуральных чисел $1, 2, ... , 8 $ на пары так, чтобы сумма чисел в каждой паре была степенью двойки?

[alexo2]

Mihr в сообщении #1109762 писал(а):

alexo2, что-то я не понимаю. Возьмём хотя бы наименьшее треугольное число: $T=1$. Тогда $n=4T=4$, соответственно, $2n=8$. Вы можете указать способ разбить набор натуральных чисел $1, 2, ... , 8 $ на пары так, чтобы сумма чисел в каждой паре была степенью двойки?

Всегда - 1-ца в сумме с последним числом последовательности, 2-ка - с предпоследним и т.д.

[Yadryara]

alexo2, с каких это пор $9$ является степенью двойки??

[alexo2]

лопухнулся - перепутал с квадратами..

-- 28.03.2016, 10:37 --

хотя, если использовать тот же подход - нужно, чтобы $2n$ было меньше $2^k$ на единицу. Принцип разбиения на пары - описан ранее...

[ИСН]

alexo2 в сообщении #1109770 писал(а):

нужно, чтобы $2n$ было меньше $2^k$ на единицу.

То есть чтобы $2n$ было нечётным. Это плохо, во-первых, само по себе, а во-вторых - тем, что у среднего числа не будет пары.

[Dmitriy40]

Добавлю ещё эвристику: $n$ должно быть чётным. Иначе останется одно нечетноё число, которое не сможет образовать пару с чётной суммой (и тем более степенью 2).
И ещё эвристика: пары должны образовываться из чисел - нечётные с нечётными, а чётные с чётными. Ну это довольно очевидно.

Но по моему решений нет, т.к. для любого $n$ всегда будет наибольшая степень $m$, такая что $n < 2^m \leqslant 2n$, и эта степень не сможет образовать пару с суммой равной степени 2. Вот был бы ноль в списке, было бы проще ...

[Iam]

Ясно, что:
- n четно,
- число четных чисел в наборе четно,
- четные числа образуют пары только с четными числами,
- если в наборе оставить только четные числа, затем поделить их (в наборе и в парах на 2), то получим набор из n чисел с тем же свойством.
Вывод очевиден.