Интеграл Пуассона с добавкой!

[Vanish]

Добрый день! Возникли вопросы по всеми любимому интегралу Пуассона.
1) Такой ли вид имеет табличный интеграл?

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp (-ax^2+bx+c)dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp(\frac{b^2}{4a}+c)$$

А то википедия, конечно, авторитетный источник, но... В справочнике так навскидку именно эту формулу не нашел.
2) Как считать вот такой интеграл?

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\exp (-ax^2+bx+c)dx$$

Почитав форум, увидел следующее решение:

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\exp (-ax^2+bx+c)dx=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial(b)}\exp (-ax^2+bx+c)dx=\frac{b}{2a}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp(\frac{b^2}{4a}+c)$$

Вроде сделать так можно, но что то внутри задает вопрос о правомерности операции (а вызвано это слабой базой мат. анализа, к сожалению)
3)Продолжаем наш интеграл:

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^n\exp (-ax^2+bx+c)dx$$

Как решать? Дифференцировать $\frac{\partial^n}{\partial(b^n)}$, дифференцировать по $a$?

Буду рад мыслям на этот счет.

[Lia]

Vanish в сообщении #1109577 писал(а):

А то википедия, конечно, авторитетный источник, но... В справочнике так навскидку именно эту формулу не нашел.

Ну а что мешает Вам самостоятельно выделить полный квадрат в показателе экспоненты под интегралом?

2-3) Чтобы не мучиться, можно рассмотреть преобразование Фурье от Вашей функции и дифференцировать уже его. Мне кажется, это будет проще, тем более, все результаты давно и заранее известны. Ну а неизвестны - так нетрудно получить самостоятельно.