Вывод формулы момента инерции кольца

[Nikolay_90]

Помогите пожалуйста вывести формулу


$I_{k}=m_{k}(D_{ex}^2+D_{in}^2)/8$


где $I_{k}$ - момент инерции кольца, $m_{k}$ - его масса $D_{ex}$- внешний диамер, а $D_{in}$ - внутренний
(вокруг оси, проход. через диаметр, а также ч-з центр.)

Зарание огромное спасибо!

[photon]

photon:

Используйте тег math ($\TeX$: введение, справка). После внесения исправлений сообщите одному из модераторов, чтобы тема была возвращена

photon:

Возвращено

[Eiktyrnir]

Nikolay_90 писал(а):

Помогите пожалуйста вывести формулу


$I_{k}=m_{k}(D_{ex}^2+D_{in}^2)/8$


где $I_{k}$ - момент инерции кольца, $m_{k}$ - его масса $D_{ex}$- внешний диамер, а $D_{in}$ - внутренний
(вокруг оси, проход. через диаметр, а также ч-з центр.)

Зарание огромное спасибо!

Кольцо - плоское значит?(!) Тогда имеем плоское распределение масс.
Во-первых (определение момента инерции тела):
I=M{R}^2 - относительно его центра масс
Во-вторых (решение): Берем кольцо и из середины (или не из середины - неважно) кольца вырезаем элементарный его кусочек (представили себе). Теперь запишем элементарный момент инерции этого кусочка $\delta$I{k}=m{k}(R{ex}$\delta$R{ex}+R{in}$\delta$R{in}) - Успешно интегрируем и получаем I{k}=m{k}({R{ex}^2}/2+{R{in}^2/2) и поскольку R{ex}=D_{ex}/2 и аналогично R{in}=D_{in}/2, а еще и {R}^2 то и получается восьмерочка, т.е. как на формуле

$I_{k}=m_{k}(D_{ex}^2+D_{in}^2)/8$

В третьих (на будущее): Помни о том как вычислять момент инерции относительно произвольной оси (пригодится).
Момент инерции тела относительно произвольной оси (по теореме Штейнера) равен сумме момента инерции этого тела I{o} относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела M на квадрат расстояния R между осями:
$I_{pr}=I_{o}+M{R}^2$

[peregoudov]

Никак не могу согласиться с предыдущим оратором. Вот правильное решение.

Упростим немного обозначения. Пусть $R$ и $r$ --- внешний в внутренний радиусы кольца, $M$ и $m$ --- массы дисков из того же материала, что кольцо, радиусами $R$ и $r$. Известно, что моменты инерции таких дисков относительно осей, перпендикулярных дискам и проходящих через их центры масс, равны $MR^2\!/2$ и $mr^2\!/2$. (Если это необходимо пояснить, переспросите.)

Представим теперь большой диск как наше кольцо и малый диск внутри кольца. Воспользовавшись аддитивностью массы и момента инерции, можно записать

$$ M=m+m_k,\quad MR^2\!/2=mr^2\!/2+I_k $$

Кроме того, массы дисков, очевидно, пропорциональны квадратам их радиусов

$$ \frac mM=\frac{r^2}{R^2}. $$

Из трех последних уравнений исключаем $M$ и $m$ и выражаем $I_k$

$$ I_k=\frac{m_k}2(R^2+r^2). $$

Задачу можно решить и впрямую с помощью интегрирования, только совсем не так, как предлагает Eiktyrnir.

[Eiktyrnir]

peregoudov писал(а):

Задачу можно решить и впрямую с помощью интегрирования, только совсем не так, как предлагает Eiktyrnir.

Просветите теперь и меня пожалуйста. Вы так уверенно говорите, что уже засомневался в правильности своего решения. Будьте так любезны - укажите мне на ошибку. Спасибо.

[Zai]

Ошибки нет.
Прямое интегрирование в полярных координатах:
$I_k= \int_0 ^{2 \pi} \int _r ^R \rho r^2 (r d \phi dr)= \rho 2 \pi ( \frac {R^4-r^4} 4 ) = \rho \pi (R^2-r^2) \frac {R^2+r^2} 2 = m_k \frac {R^2+r^2} 2
$I_k = m_k \frac {R^2+r^2} 2 = m_k \frac {D_{ex}^2+D_{in}^2} 8

[Eiktyrnir]

Zai писал(а):

Ошибки нет.
Прямое интегрирование в полярных координатах:
$I_k= \int_0 ^{2 \pi} \int _r ^R \rho r^2 (r d \phi dr)= \rho 2 \pi ( \frac {R^4-r^4} 4 ) = \rho \pi (R^2-r^2) \frac {R^2+r^2} 2 = m_k \frac {R^2+r^2} 2
$I_k = m_k \frac {R^2+r^2} 2 = m_k \frac {D_{ex}^2+D_{in}^2} 8

Ну спасибо - реабилитировали. Так это неважно - в полярных или декартовых (дело выбора системы координат) - ответ должен быть один и тот же. А почему автор сообщения о том, что я не прав - молчит? Мои сомнения ушли после вашего (Zai) сообщения. Спасибо вам.

[peregoudov]

Zai писал(а):

Ошибки нет.

Eiktyrnir писал(а):

Ну спасибо - реабилитировали.

Странные утверждения. Если у вас, господа, есть глаза, почему вы ими не пользуетесь? Достаточно сравнить "решение" Eiktyrnir'а с решением Zai'я, чтобы увидеть, что между ними нет ничего общего.

Если же утверждение Zai'я относится к тому, что у Eiktyrnir'а "получен" правильный ответ, так он в заглавном посте темы приведен. Под готовый ответ еще бы не подогнать.

Zai, я считаю, Вам следует внимательно прочитать тему и поправить свое утверждение.

[Zai]

Перегудов,
Вы делаете впечатляющие успехи не только в поиске своих опечаток, он и в обнаружении существенных ошибок в методах решения. Я не посмотрел, что Вас привлекло в студенческой задаче и привел обычное решение не заметив подгонки. Надеюсь, что в моем предыдущем по этой теме сообщении нет ошибок.

[Eiktyrnir]

peregoudov писал(а):

Странные утверждения. Если у вас, господа, есть глаза, почему вы ими не пользуетесь? Достаточно сравнить "решение" Eiktyrnir'а с решением Zai'я, чтобы увидеть, что между ними нет ничего общего.

Если же утверждение Zai'я относится к тому, что у Eiktyrnir'а "получен" правильный ответ, так он в заглавном посте темы приведен. Под готовый ответ еще бы не подогнать.

Zai, я считаю, Вам следует внимательно прочитать тему и поправить свое утверждение.

Уважаемый сударь будьте так любезны указать мне на ошибку в моем решении? Не соблаговалите ли вы привести именно свое решение (далее ссылка на вашу цитату):

Цитата:

Задачу можно решить и впрямую с помощью интегрирования, только совсем не так, как предлагает Eiktyrnir.

[peregoudov]

Правильное решение привел Zai.

[Eiktyrnir]

peregoudov писал(а):

Правильное решение привел Zai.

Все понятно. Да действительно я ошибся. Свою спекуляцию признаю. Теперь все ясно. Увы потерянные годы практики...