Теория Вероятностей

[Maxim9]

1.Пусть задано вероятностное пространство $(\Omega, P, \mathcal{A}), B \in \mathcal{A} , P(B) > 0.$
Обозначим $P_B(A_1)=P(B|A_1)$ для $A_1 \in \mathcal{A}$ . Доказать, что функция $P_B \in \mathcal{A} \to R$
является вероятность.

Не отрицательность понятна. А как доказать непрерывность в нуле, нормированность, аддитивность?
Возможно, что аддитивность доказывается так
Надо доказать:
$P_B(A_1\bigcup A_2)=P_B(A_1)+P_B(A_2)$,

$P(A_1\bigcup A_2|B)=P(A_1|B)+P(A_2|B)$,

$\dfrac{P(A_1\bigcup A_2 \cap B)}{P(B)}=\dfrac{P((A_1\cap B)\bigcup (A_2 \cap B))}{P(B)}= \dfrac{P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)}{P(B)}$
2. Обозначим $\mathcal{A}_B=\mathcal{A}\cap B=\{A_1\cap B : A_1 \in \mathcal{A}\}$. Доказать, что $(B,\mathcal{A}_B,P_B)$ –
вероятностное пространство, где $P_B$ из предыдущей задачи.
Не отрицательность вроде как выполняется.
А как доказать аддитивность, нормированность и непрерывность в нуле?
Начал с нормированности

$P_B(A_1)=P(B|A_1)$

$P_B(\Omega)=P(B|\Omega)=1$
Но ведь тогда непонятно зачем дана новая сигма-алгебра.
3. Пусть события $A_1$ и $B$ независимы. Верно ли, что $P(A_1\cap B|C) = P(A_1|C) P(B_1|C)$, где С произвольное событие, имеющее ненулевую вероятность?
Независимы это значит :

$P(A_1\cap B)=P(A_1) P(B)$

$P(A_1\cap B|C)=\dfrac{P(A_1\cap B\cap C)}{P(C)}=\dfrac{P(C|A_1\capB) P(B|A_1) P(A_1)}{P(C)} =$

$= \dfrac{P(C|A_1\capB) \dfrac{P(B\cap A_1)}{P(A_1)} P(A_1)}{P(C)}$
Дальше не знаю, что делать.

Помогите с этими задачками пожалуйста

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

Будьте добры, отличайте на письме элементы алгебры событий и события.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[DeBill]

Maxim9 в сообщении #1109446 писал(а):

$P_B(\Omega)=P(B|\Omega)=1$

ЧТО??? У Вас же совсем другое вер-е пр-во $(B,\mathcal{A}_B,P_B)$ –, и пространством элементарных событий теперь является отнюдь не старое $\Omega$, и вероятность теперь - не та.....Как только с этим разберетесь - все проблемы исчезнут.

Maxim9 в сообщении #1109446 писал(а):

Дальше не знаю, что делать.

И это правильно! Попробуйте теперь опровергнуть Ваше утверждение (для этого достаточно привести пример. Удобно использовать геометрическую вероятность - в силу наглядности. А можно что-нить совсем простое, с классической )

[--mS--]

Не, почему, пространство элементарных исходов не изменилось, это всё то же $\Omega$. А вот с обозначениями условных вероятностей автору следует разобраться, иначе так и будет ерунда, в которой всем лень ковыряться.

[DeBill]

--mS--
Дык я про задачу 2 - там у него не так.
Ой,

Maxim9 в сообщении #1109446 писал(а):

$P_B(A_1)=P(B|A_1)$

а я и не заметил...Вот что значит глаз замылился: начинаешь видеть то, что дОлжно там где его нет...

[gris]

3. Я, увидев слова "верно ли", обычно начинаю проверять формулу на примере. Тут пример $C$ прямо напрашивается.

[--mS--]

DeBill в сообщении #1109876 писал(а):

Дык я про задачу 2 - там у него не так.

Я до задачи 2 ещё не дочитала

[Maxim9]

2. задача
нормированость так наверно:

$P_B(B|B)=1$

[--mS--]

Maxim9 в сообщении #1109933 писал(а):

$P_B(B|B) $

Давайте Вы уже разберётесь с обозначениями? Условной вероятности прежде всего.