Сопряженные функтор к забывающему из категории С* в * алгебр

[kp9r4d]

Пусть у нас есть забывающий функтор из категории $C^*$-алгебр в категорию $*$-алгебр, будет ли он иметь сопряженные?

[oskar_808]

Посмотрите определения произведения и копроизведения $C^*$-алгебр на стр. 17 этой статьи. Очевидно, что даже их подстилающие ${}^*$-алгебры сильно зависят от "нормированной" структуры соответствующих $C^*$-алгебр. Исходя из этого, трудно ожидать, чтобы забывающий функтор имел сопряжённые.

Более того, Ваш вопрос, по большому счёту, неправильный. Про такие штуки надо задавать другие вопросы. Такие категории наделены большим количеством дополнительных структур, ими и надо интересоваться. Почитайте вот это, например, раз уж Вас заинтересовали категории.

[kp9r4d]

oskar_808 в сообщении #1109451 писал(а):

Посмотрите определения произведения и копроизведения $C^*$-алгебр на стр. 17 этой статьи
. Очевидно, что даже их подстилающие ${}^*$-алгебры сильно зависят от "нормированной" структуры соответствующих $C^*$-алгебр. Исходя из этого, трудно ожидать, чтобы забывающий функтор имел сопряжённые.

Огромное спасибо за ответ, если честно, то не ожидал, что ответит хоть кто-нибудь.

Пришли в голову эти соображения уже после того, как задал вопрос, но мне не даёт покоя вот что: конструкция универсальной обёртывающей $C^*$-алгебры как бы "просится" быть левым сопряженным к забывающему функтору. Может быть, если ограничить категорию ${}^*$-алгебр категорией ограниченных ${}^*$-алгебр ($B$ называется ограниченной ${}^*$-алгеброй, если для любого $b \in B$ существует константа $C_b \geqslant 0$, что для любого представления $\pi : B \to B(H)$ в ограниченных операторах над гильбертовым пространством выполнено $||\pi(b)|| \leqslant C_b$), или ещё каким-то образом ограничить категорию он-таки станет сопряженным?

-- 27.03.2016, 00:34 --

oskar_808 в сообщении #1109451 писал(а):

Более того, Ваш вопрос, по большому счёту, неправильный. Про такие штуки надо задавать другие вопросы. Такие категории наделены большим количеством дополнительных структур, ими и надо интересоваться. Почитайте вот это
, например, раз уж Вас заинтересовали категории.

Почитаю, спасибо.

[oskar_808]

Насколько я знаю, вопрос о том, какие ${}^*$-алгебры обладают универсальными обёртывающими $C^*$-алгебрами -- это классический вопрос этой теории. Смотрите, например, вот эту статью.

[kp9r4d]

oskar_808
А если мы возьмём категорию всех ${}^*$-алгебр обладающих универсальной обёртывающей, будет ли это функтором и будет ли этот функтор сопряжен забывающему? В частности, будет ли он сохранять проективные пределы? Было бы очень здорово, если бы вы взглянули на этот вопрос потому как сейчас он является камнем преткновения в моей задаче.

[oskar_808]

kp9r4d в сообщении #1109463 писал(а):

oskar_808
А если мы возьмём категорию всех ${}^*$-алгебр обладающих универсальной обёртывающей, будет ли это функтором и будет ли этот функтор сопряжен забывающему? В частности, будет ли он сохранять проективные пределы?

Конечно, слово "универсальная" и означает, что такой функтор будет левым сопряжённым к забывающему (и, соответственно, будет сохранять пределы). Только я сомневаюсь, что это можно как-то использовать в Вашей задаче...

-- 27.03.2016, 05:37 --

kp9r4d
Я Вам на MathStackExchange подбил вопросик про категории -- если Вы примете изменения, его должны будут снова открыть.

[kp9r4d]

oskar_808 в сообщении #1109464 писал(а):

Конечно, слово "универсальная" и означает, что такой функтор будет левым сопряжённым к забывающему (и, соответственно, будет сохранять пределы). Только я сомневаюсь, что это можно как-то использовать в Вашей задаче...

Понятно, спасибо. Всё оказалось чуть сложнее, чем я думал.

oskar_808 в сообщении #1109464 писал(а):

Я Вам на MathStackExchange подбил вопросик про категории -- если Вы примете изменения, его должны будут снова открыть.

Огромное спасибо за редактирования!

[oskar_808]

Да, но, насколько я понял, изменения теперь могут принимать/отклонять модераторы сайта. Изменение вопроса про последовательности они приняли, а про сопряжённый функтор -- отклонили, хотя оно, на мой взгляд, было важнее. Ну мы вроде как тут уже обсудили этот вопрос, так что ладно.

[kp9r4d]

Да, спасибо.