Неоднородное Диофантово Уравнение

[Shadow]

Shadow в сообщении #1109428 писал(а):

Shadow, проверил две позиции в формулах параметризации.
$m=1,n=4, x=-474554340, y=59356, z=1351$ и
$m=1,n=6, x=-82118368220, y=1551096, z=97747$.
Для них $x^2+y^3-z^4\ne{0}$.
Посмотрите повнимательней. Нет ли ошибки.

Посмотрел, при $m=1,n=4$ должно получится $x=-474554340,y=-608399,z=1351$
При $m=1,n=6,\;x=-82118368220,y=-18807039,z=97747$
В формуле для игрека наверное опечатка. (У Вас или у меня).
Все равно, это одна часть одной части решений.

[scwec]

Shadow,спасибо. Я вчера еще вопрос снял, изменил текст в своем сообщении.
Там у меня была опечатка в формуле для $y$.
По поводу параметризаций для $p=2$, приведу три негромоздких.
1. $x=4k^2(k^4-1)(k^2+1)^2,y=4k^2(k^2+1)^2, z=2k(k^2+1)^2$
2. $x=4(k^2+2)(k^2+1)^4, y=-4(k^2+1)^3, z=2k(k^2+1)^2$
3. $x=4k^2(2k^2+1)(k^2+1)^4,y=-4k^2(k^2+1)^3, z=2k(k^2+1)^2$.
Они дают для одного значения $z$ различные, вообще говоря, пары $x,y$.
Можно написать и другие варианты.
Вот два 3-параметрических решения:
1. $x=k^2{m^4}{n^4}(2nk^2-m)(2nk^2+m)^3$, $y=2{k^2}{m^3}{n^3}(2nk^2+m)^2$, $z=km^2n^2(2nk^2+m)^2$
2. $x=m^4n^3(nk^2+m)(2nk^2+m)^4$, $y=-m^3n^2(2nk^2+m)^3$, $z=km^2n^2(2nk^2+m)^2$
Все параметризации получались с использованием сложения рациональных точек на кривой
$Y^2=X^3+N^4$ c последующей заменой $x=Y,y=-X,z=N$.

[scwec]

Ribin в сообщении #1109347 писал(а):

доказать, что для $\forall a,b,c \in \mathbb{Z}$ уравнение

$$ax^3+by^3=cz^4$$

имеет бесконечно много решений в целых ненулевых числах.

1-параметрическое решение уравнения $ax^p+by^p=cz^{p+1}$
может быть таким.
1. $c\ne{0},a+b\ne{0}$: $x=y=(a+b)c^p{k^{p+1}},z=(a+b)c^{p-1}{k^p}$,
2. $a+b=0$: $x=y=k,z=0$,
3. $c=0$: $x=y=0,z=k$,

[Ribin]

Scwec, браво!
Можно так подойти:
Пусть $x=ckx_{1}$ $y=cky_{1}$ $z=k$
Тогда после сокращения на $ck^3$ получится:

$$ac^2 x_{1}^3 +bc^2 y_{1}^3 =k$$

И, собственно, всё, подставляем получившееся выражение для $k$ в изначальные замены. Но ваша параметризация получилась по красивее.